Nie można.Trylemat Agryppy pisze:O ile możemy nazwać nieskończoność liczbą.
Nie rozumiesz, że \(\displaystyle{ 11111...}\) nie jest liczbą naturalną?Trylemat Agryppy pisze:Nie rozumiem.Pamiętaj, że aby skonstruować liczbę naturalną, nie wystarczy podać ciągu jej cyfr (jak było w przypadku liczb rzeczywistych), bo nie każdy ciąg cyfr reprezentuje liczbę naturalną, np. \(\displaystyle{ 11111...}\)
A skąd bierzesz wiedzę o liczbach, na jakich aksjomatach bazujesz? Bo jak na swojej intuicji, przypuszczeniach to ok, ale warto się zastanowić czy to Cie doprowadzi do czegoś sensownego.Trylemat Agryppy pisze:Jan Kraszewski,
Rozumiem, że nieskończoność nie jest liczbą. Ale, że \(\displaystyle{ 11111...}\) nie jest l. naturalną to już nie.
No widzisz, musisz najpierw poczytać o pozycyjnym zapisie liczb. Napis \(\displaystyle{ 11111...}\) oznaczałby sumę takiego szeregu:Trylemat Agryppy pisze:Ale, że \(\displaystyle{ 11111...}\) nie jest l. naturalną to już nie.
Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest liczbą. Jest tylko pewnym niezdefiniowanym symbolem/tworem, z którym nie wiadomo do końca, co robić.Trylemat Agryppy pisze: Nie jest to jednak prawdziwy paradoks. Bowiem tworzymy nieskończoną liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) w taki sposób żeby nie znaleźć jej w ciągu wszystkich liczb naturalnych czy rzeczywistych, i tyle, nie ma żadnego przejścia od tego do tego, że liczb naturalnych jest mniej od liczb naturalnych czy rzeczywistych.
Proste, prawda? Dlaczego więc nikt do tej pory na to nie wpadł. Czyżbym był w błędzie? Ale gdzie?
Dlatego, że to drugie dobrze definiuje liczbę rzeczywistą z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Znana jest każda cyfra z rozwinięcia dziesiętnego po prawej stronie "kropki", która wyznacza część ułamkową liczby. Część ułamkowa jest zawsze z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\).Trylemat Agryppy pisze:Jeśli 3802331... jest problematyczne to czemu 0.3802331... nie jest?
Wniosek jest błędny. Gdyby liczb całkowitych było skończenie wiele, to musiałaby istnieć największa liczba całkowita \(\displaystyle{ M}\). Ale przecież \(\displaystyle{ M+1}\) jest również liczbą całkowitą, co przeczy temu, że \(\displaystyle{ M}\) jest największa.Trylemat Agryppy pisze: Jeśli przyjąć, że 3802331... nie jest liczbą to nie trzeba by czasem przyjąć, że liczb całkowitych nie jest nieskończenie wiele? Jeśli nie istnieje liczba całkowita z nieskończoną liczbą cyfr to nasuwa się wniosek, że i liczb całkowitych nie jest nieskończenie wiele.
Ona wcale nie jest znana. W przykładzie Cantora \(\displaystyle{ \alpha}\) jest losowa. Ciąg Cantora nie jest w żaden sposób uporządkowany poza tym, że liczby są w określonym przedziale.yorgin pisze:Znana jest każda cyfra z rozwinięcia dziesiętnego po prawej stronie "kropki", która wyznacza część ułamkową liczby.
I przeczy też temu, że liczb całkowitych jest skończenie wiele. Ale nie odniosłeś się do mojego rozumowania tylko przedstawiłeś inne wykazujące, że liczb całkowitych jest nieskończenie wiele. W jaki sposób to przeczy temu, że jeśli nie istnieje liczba całkowita z nieskończoną liczbą cyfr to nasuwa się wniosek, że i liczb całkowitych nie jest nieskończenie wiele?yorgin pisze:Wniosek jest błędny. Gdyby liczb całkowitych było skończenie wiele, to musiałaby istnieć największa liczba całkowita M. Ale przecież M+1 jest również liczbą całkowitą, co przeczy temu, że M jest największa.
Jest - \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dobrze zdefiniowaną liczbą opartą na ciągu innych liczb. Kolejność liczb nie odgrywa żadnego znaczenia - zmienia jedynie postać \(\displaystyle{ \alpha}\). Ale w żaden sposób nie czyni jej losową.Trylemat Agryppy pisze: Ona wcale nie jest znana. W przykładzie Cantora \(\displaystyle{ \alpha}\) jest losowa. Ciąg Cantora nie jest w żaden sposób uporządkowany poza tym, że liczby są w określonym przedziale.
Przeczy temu, że liczb całkowitych nie jest nieskończenie wiele (czyli jest ich skończenie wiele). Twoje zdanie jest postaci \(\displaystyle{ 1\Rightarrow 0}\) (każdy składnik można skomentować niezależnie), więc wnioskowanie jest fałszywe.Trylemat Agryppy pisze: W jaki sposób to przeczy temu, że jeśli nie istnieje liczba całkowita z nieskończoną liczbą cyfr to nasuwa się wniosek, że i liczb całkowitych nie jest nieskończenie wiele?
Tylko, że ustawienie jest niejednoznaczne i wynik czyli \(\displaystyle{ \alpha}\) też.yorgin pisze:Uczynię to w sposób jednoznaczny ze względu na ustawienie.
Nie przeczy, wręcz przeciwnie. Nie ma największej a więc jest ich nieskończenie wiele. Jeśliby istniała największa, to nie byłaby ona nieskończona. Jeśli nie istnieje największa, to istnieje nieskończona.yorgin pisze:Przeczy temu, że liczb całkowitych nie jest nieskończenie wiele
Może Ci się wydawać niejednoznaczny, jeśli znasz dowód Cantora tylko z poglądowego obrazka, którym posłużyłeś się na początku. Tak naprawdę to wizualizacja, a nie dowód. W porządnym dowodzie dla zadanego ciągu liczb rzeczywistych z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\) potrafię wzorem zdefiniować liczbę z tego przedziału różną od wszystkich liczb z tego ciągu. Wzorem, czyli jednoznacznie.Trylemat Agryppy pisze:Tylko, że ustawienie jest niejednoznaczne i wynik czyli \(\displaystyle{ \alpha}\) też.
Wieżę na słowo, ale czy to coś zmienia?Jan Kraszewski pisze:Może Ci się wydawać niejednoznaczny, jeśli znasz dowód Cantora tylko z poglądowego obrazka, którym posłużyłeś się na początku. Tak naprawdę to wizualizacja, a nie dowód. W porządnym dowodzie dla zadanego ciągu liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) potrafię wzorem zdefiniować liczbę z tego przedziału różną od wszystkich liczb z tego ciągu. Wzorem, czyli jednoznacznie.
Problem w tej idei polega na tym, że bierzesz ciąg obiektów, które nie są liczbami, choć liczbami właśnie je określasz. Nic więc dziwnego, że wynikiem jest obiekt tej samej kategorii, który dalej liczbą być nie chce. W powyższej interpretacji można się nawet przyczepić do tego, żeTrylemat Agryppy pisze: ... 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3
... 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8
... 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
... 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2
... 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4
... 9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7
... XXXXXXXXXXXXX 7 3 9 2 0 8
W naszym przykładzie liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) wyglądałaby tak
...0954304
Myślę, że nic takiego nie istnieje. Nie widzę powodu by coś takiego powoływać do życia.yorgin pisze:W powyższej interpretacji można się nawet przyczepić do tego, że
\(\displaystyle{ ... 0001}\)
nie jest liczbą (na lewo ciągną się same zera), bo przecież jest jakiś obiekt, a nie wiadomo, jak go interpretować.
Nie wiemy taż jak wygląda pierwsza cyfra z prawej dowolnej liczby niewymiernej. A mimo to uznajemy liczby niewymierne za liczby. Te liczby po prostu nie mają ostatniej cyfry i możemy je porównywać.yorgin pisze:W ogólnym przypadku nie wiemy nawet, jak wyglądałaby pierwsza z lewej cyfra takiej liczby (w ogóle nie istnieje wtedy coś takiego jak pierwsza cyfra liczby) , więc w jaki sposób miałyby takie liczby być na przykład porównywane?
Chyba Ci nikt tego nie wytłumaczy, bo tak sobie przyjeli matematycy. Tzn. "wielkość" zbiorów bazuje na bijekcji według nich. Dla mnie pojęcie nieskończoności też jest w pewnym stopniu absurdalne, a nawet pojęcie liczb niewymiernych. Ale to już chyba kwestia trochę filozoficzna. Gauss był zdania, że nieskończoności jako "całości" nie wolno rozpatrywać. Gauss umarł jak Cantor był małym chłopcem, ale wątpie, że nie rozważał podobnych dylematów. Później pojawił się Cantor i jego definicja, która się przyjeła. Więc różnie z tymi nieskończonościami bywa.Trylemat Agryppy pisze:Jeśli ktoś broni teorii mnogości to niech wytłumaczy mi jedną rzecz. Jak mogą istnieć większe i mniejsze nieskończoności? Przecież to absurd. Z samej analizy pojęcia nieskończoności wynika, że nie mogą być większe bądź mniejsze nieskończoności. Coś co jest nieskończenie-wielkie ma tylko jedną wielkość. Nieskończoną. Coś co jest nieskończenie-liczebne ma tylko jedną ilość elementów. Nieskończoną.
