Nierówność sumy i silni

[novicjusz]

\(\displaystyle{ 1+\sum_{i=1}^n x^i \cdot \frac{n(n-1)\ldots(n-i+1)}{n^i} \cdot \frac{1}{i!} \\
\phantom{\left(1+\frac xn \right)^n} \le 1 + \sum_{i=1}^n x \cdot \frac{1}{2^{i-1}}}\)

Tutaj nie do końca wiem co się stało.

a4karo niezbyt rozumiem co masz na myśli w pierwszym zdaniu tzn. co jest lewą stroną, co się zwiększa itd. Jednak ogólną ideę rozumiem, że bazuje na tym, że:
\(\displaystyle{ (1+a_1)(1+a_2) \le (1+(a_1+a_2)/2)(1+(a_1 + a_2)/2)}\) co akurat mogę w bardzo prosty sposób pokazać. Pewnie można to uogólnić. Zapewne indukcją i dwumianem, co pewnie najłatwiejsze nie będzie.

[timon92]

stało się tu kilka rzeczy:

\(\displaystyle{ x^i \le x}\) (to dlatego, że \(\displaystyle{ x \le 1}\) i \(\displaystyle{ i\ge 1}\))

\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)\ldots(n-i+1)}{n^i} \le \frac{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}{n^i} = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{i!} = \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot i} \le \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} = \frac{1}{2^{i-1}}}\)