Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 18:26
No to podałem już wszystkie punkty podejrzane o ekstremum, nie mogę znaleźć więcej
Matematyka.pl
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
Strona 2 z 2
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 18:28
No to teraz musisz rozstrzygnąć co się w nich dzieje.
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 19:22
wychodzą ekstrema\(\displaystyle{ b ^{2} i a ^{2} a ^{2}}\) ale nie wiem które minimum a które maksimum, może po prostu zaznaczyć że dla a>b funkcja przyjmuję maksimum w \(\displaystyle{ a ^{2}}\) i odwrotnie. Ma to sens czy może inaczej to trzeba rozstrzygnąć, bo raczej hesjamy tutaj nie mają sensua4karo pisze:No to teraz musisz rozstrzygnąć co się w nich dzieje.
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 19:55
Popatrz na to tak
Tu masz rysunek z \(\displaystyle{ a=5, b=3}\). Jakie sa wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) na kolorowych kółkach?
- 1.jpg (83.54 KiB) Przejrzano 144 razy
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 20:42
Trochę nie rozumiem tego wykresu ta niebieska elipsa nie powinna być wyżej? Żeby przecinała 3? Ale mimo to da się zauważyć że te ekstrema (minimum i maksimum) są zależne od mniejszego a lub b
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 21:08
Może dokładniej : od mniejszego \(\displaystyle{ a^2}\)...
Tak .trójka powinna być ciut niżej .
Istotne jest to, że funkcja jest stała na kolorowych kołach, a w punktach ekstremalnych te koła są styczne do elipsy. Tak jest zawsze: ekstremum może być tylko tam gdzie poziomice są styczne do ograniczeń.
Teraz zrób przypadek gdy elipsa jest kołem
Tak .trójka powinna być ciut niżej .
Istotne jest to, że funkcja jest stała na kolorowych kołach, a w punktach ekstremalnych te koła są styczne do elipsy. Tak jest zawsze: ekstremum może być tylko tam gdzie poziomice są styczne do ograniczeń.
Teraz zrób przypadek gdy elipsa jest kołem
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 19 wrz 2016, o 22:44
no jak kołem to \(\displaystyle{ a^2=b^2}\) czyli ekstrema będą dla \(\displaystyle{ f}\) wtedy gdy te koła "najdą" na siebie. Tylko jak to teraz zapisać metodą mnożników Lagrange'a :/
-- 20 wrz 2016, o 00:10 --
Dobra mam tak:
Ogólnie to profesor zabrania nam na korzystanie z hesjanów i podano nam taki wzór:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^{2}L }{ \partial x \partial x}+2* \frac{ \partial^{2}L }{ \partial x \partial y} + \frac{ \partial^{2}L }{ \partial y \partial y}}\)
na podstawie znaku tego wyrażenia tak samo jak przy metodzie hesjanów określa się czy w punkcie jest minimum czy maksimum
no i tak drugie pochodne to(w kolejności jak we wzorze):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2+ \frac{2*\lambda}{a ^{2} } \\ 0 \\2+ \frac{2*\lambda}{b ^{2} } \end{cases}}\)
Podstawiając wychodzi:
\(\displaystyle{ 2(2 + \frac{\lambda}{a ^{2} } + \frac{\lambda}{b ^{2} })}\)
no i lambda dla punktu \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) wyszło mi \(\displaystyle{ -b^{2}}\) i następnie:
\(\displaystyle{ 2(1- \frac{b ^{2} }{ a^{2} })}\) czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) osiąga maksimum gdy \(\displaystyle{ |b|>|a|}\) i minimum gdy \(\displaystyle{ |b|<|a|}\)
Dla punktu \(\displaystyle{ (|a|,0)}\) lambda jest równa \(\displaystyle{ -a^{2}}\) i następnie:
\(\displaystyle{ 2(1- \frac{a ^{2} }{ b^{2} })}\) czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0,|a|)}\) osiąga maksimum gdy \(\displaystyle{ |a|>|b|}\) i minimum gdy \(\displaystyle{ |a|<|b|}\)
Wydaję mi się to rozsądnym rozwiązaniem
-- 20 wrz 2016, o 00:10 --
Dobra mam tak:
Ogólnie to profesor zabrania nam na korzystanie z hesjanów i podano nam taki wzór:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^{2}L }{ \partial x \partial x}+2* \frac{ \partial^{2}L }{ \partial x \partial y} + \frac{ \partial^{2}L }{ \partial y \partial y}}\)
na podstawie znaku tego wyrażenia tak samo jak przy metodzie hesjanów określa się czy w punkcie jest minimum czy maksimum
no i tak drugie pochodne to(w kolejności jak we wzorze):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2+ \frac{2*\lambda}{a ^{2} } \\ 0 \\2+ \frac{2*\lambda}{b ^{2} } \end{cases}}\)
Podstawiając wychodzi:
\(\displaystyle{ 2(2 + \frac{\lambda}{a ^{2} } + \frac{\lambda}{b ^{2} })}\)
no i lambda dla punktu \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) wyszło mi \(\displaystyle{ -b^{2}}\) i następnie:
\(\displaystyle{ 2(1- \frac{b ^{2} }{ a^{2} })}\) czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) osiąga maksimum gdy \(\displaystyle{ |b|>|a|}\) i minimum gdy \(\displaystyle{ |b|<|a|}\)
Dla punktu \(\displaystyle{ (|a|,0)}\) lambda jest równa \(\displaystyle{ -a^{2}}\) i następnie:
\(\displaystyle{ 2(1- \frac{a ^{2} }{ b^{2} })}\) czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0,|a|)}\) osiąga maksimum gdy \(\displaystyle{ |a|>|b|}\) i minimum gdy \(\displaystyle{ |a|<|b|}\)
Wydaję mi się to rozsądnym rozwiązaniem
Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)
: 20 wrz 2016, o 02:06
A po co tu pisać cokolwiek?
Dla \(\displaystyle{ a=b}\) masz \(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\), wiec \(\displaystyle{ f}\) jest stała.
Dla \(\displaystyle{ a=b}\) masz \(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\), wiec \(\displaystyle{ f}\) jest stała.