czy suma szeregów rozbieżnych jest zawsze szeregiem rozbieżn

[pi0tras]

a4karo, Nie, gdyby miało wyjsć 0 to musiałby złożyć te dwa szeregi w jeden a zrobić tak można (złożyć w jeden) tylko dla szeregów zbieżnych.

[a4karo]

Sumą szeregów \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum b_n}\) jest szereg \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)}\) (to definicja sumy i zbieżnośc nie ma tu nic do rzeczy.

Szereg to formalny zapis. To częsty bład popełniany przez tych, którzy utożsamiają szereg (czyli formalny zapis \(\displaystyle{ \sum a_n}\) )z liczbą, będącą jego sumą (ta istnieje tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny - a zapisuje sie ja tak samo)

Zatem po dodaniu szeregów \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum (-a_n)}\) dostajemy szereg \(\displaystyle{ \sum 0}\), który jest zbieżny niezależnie od tego, czy zbieżny był szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\)

[pi0tras]

Hm może i masz rację, że pomyliłem pewne własności bo pamiętam je trochę przez mgłę. Wybaczcie koledzy.

[matinf]

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\)
jest bezwzględnie zbieżny, to \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) jest bezwzględnie zbieżny, bo
z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ |a_{n}+b_{n}|\le |a_{n}|+|b_{n}|}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) nie jest bezwzględnie zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\)
nie jest bezwzględnie zbieżny (jestem nie najlepszy z logiki, ale wydaje mi się, że zaprzeczeniem bezwzględnej zbieżności jest po prostu brak bezwzględnej zbieżności, co może się łączyć z rozbieżnością lub ze zbieżnością warunkową w zależności od sytuacji), to
na dwoje babka wróżyła:
np. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( 1+ \frac{1}{n}+\left( -\frac 1 n\right) \right) = \sum_{n=1}^{ \infty }1}\)
nie jest zbieżny bezwzględnie
( tak samo, jak \(\displaystyle{ \sum_{}^{}\left(1+\frac 1 n\right)}\) i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} -\frac 1 n}\)),
lecz np. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{(-1)^n}{n}+ \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \right)}\)
jest zbieżny bezwzględnie, podczas gdy ani
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n}}\), ani \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}}\) nie jest zbieżny bezwzględnie.
I tak dalej. Nad pozostałymi przypadkami zastanów się sam, jeśli coś wymyślisz lub coś zrobisz, ale napotkasz problemy, to napisz, co masz.

1. Dodanie dwóch bezwzględnie zbieżnych daje bezwzględnie zbieżny.
2. Dodanie dwóch rozbieżnych może dać zbieżny warunkowo, może dać nawet zbieżny bezwzględnie - ale to analizowaliśmy już.
Pozostało do przeanalizowania:
3. Dodanie zbieżnego bezwzględnie to zbieżnego warunkowo
4. Dodanie zbieżnego bezwzględnie do rozbieżnego - ale Ty pokazałeś, że dodanie zbieżnego i rozbieżnego daje zawsze rozbieżny - nie ma więc znaczenia bezwzględność tutaj. Bo pokazałeś ogólniejszy fakt - bezwzględnie zbieżny jest w szczególności zbieżny warunkowo.

Pozostało więc 3.
\(\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{1}{n^2} + (-1)\frac{1}{n}}\)
Widać, że dodajemy szereg zbieżny bezwzględnie i zbieżny warunkowo. W konsekwencji dostajemy szereg zbieżny warunkowo.

Zastanawiam się teraz czy możliwe jest, żeby dodać szereg bezwzględnie zbieżny i warunkowo zbieżny i dostać szereg bezwzględnie zbieżny. Obstawiałbym, że nie.
Wiecie cos na ten temat?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{1}{n^2} + (-1)\frac{1}{n}}\)

Chyba chciałeś napisać trochę inaczej...

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest zbieżny bezwzględnie, a \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\) jest tylko warunkowo zbieżny, to
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) nie jest bezwzględnie zbieżny, bo znowu z nierówności trójkąta mamy
\(\displaystyle{ |b_n+a_n|+|-a_n|\ge |b_n|}\), czyli \(\displaystyle{ |a_n+b_n|\ge |b_n|-|a_n|}\)