Matematyka.pl

Dzięki za wyjaśnienie. Faktycznie, o tym nie pomyślałem, to powoduje, że są co najmniej dwie możliwości rozwiązania zadania 20, wynikające z różnej interpretacji.

Zadanie 22.
To mi wygląda na próby Bernoulliego, maksymalizujemy więc
\(\displaystyle{ f(n)={6 \choose 4}\left( \frac{n}{16}\right)^{4}\left( \frac{16-n}{16}\right)^{2}}\). gdzie oczywiście o stałych dodatnich komponentach multyplikatywnych możemy zapomnieć, bo interesuje nas konkretny argument funkcji, a nie wartość maksimum, a ponadto funkcja \(\displaystyle{ f(t)=t^{2}}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ t>0}\), więc wystarczy nam znaleźć takie \(\displaystyle{ n\in \left\{ 0,...16\right\}}\), dla którego wyrażenie \(\displaystyle{ n^{2}(16-n)}\) przyjmuje wartość największą.
\(\displaystyle{ f(t)=t^{2}(16-t), f'(t)=-3t^{2}+32t}\), zatem w \(\displaystyle{ [0,16]}\) największa wartość \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ f\left( \frac{32}{3} \right)}\) (porównujemy z wartościami na krańcach przedziału, które oczywiście są zerami), no a potem zauważamy, że dla \(\displaystyle{ t>32/3}\) funkcja maleje, więc wystarczy porównać \(\displaystyle{ f(10) z f(11)}\). Odpowiedź: \(\displaystyle{ n=11}\).
Ja takich rzeczy, jak próby Bernoulliego nie znałem w szkole średniej, ale chyba jest coś takiego w programie, skoro np. wzór Bayesa też doń wrócił.

-- 10 mar 2016, o 01:22 --

Ogólnie to chciałem zrobić to zadanie z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, ale tą metodą też dostajemy ofc. maksimum w \(\displaystyle{ \frac{32}{3}}\), no i bez pochodnych to ja nie umiem dalej uargumentować. Coś niby można by próbować, że im dalsze są te składniki (\(\displaystyle{ 16-n, n/2,n/2}\)) od bycia równymi, tym mniejsze wartości, ale to trochę machando rękami.

Jak więc interpretować takie zadanie na maturze? Jako jeden pierwiastek podwójny, czy jako dwa pierwiastki? W ogóle pojawiła się kiedyś taka nieścisłość w poprzednich maturach?

Pamiętam jedno zadanie z matury próbnej "Operonu", w której trzeba było wskazać dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie było sprecyzowane, czy różne. I tam nie rozpatrywano przypadku, gdzie \(\displaystyle{ \Delta=0}\), tj. równanie miało zgodnie z Twoją teorią \(\displaystyle{ 2}\) takie same pierwiastki, a zgodnie z teorią niektórych nauczycieli i jak wspomniałem klucza odpowiedzi opracowanego przez wydawnictwo Operon \(\displaystyle{ 1}\) pierwiastek.

Z kolei jeśli dobrze pamiętam w innym zbiorze już było tak jak mówisz, więc tak nieścisłe sformułowania jeśli pojawią się na maturze mogą wprowadzić w konsternację - która definicja jest "właściwsza"?

Taka sytuacja nie powinna pojawić się na maturze.

JK

Chyba zbyt pracochłonne były powyższe zadania.
Kilka krótszych:

A1. Dana jest prosta k: \(\displaystyle{ y=x}\). Proszę napisać równanie prostej l, przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,-4)}\) i nachylonej do prostej k pod kątem \(\displaystyle{ 30^o}\).

A2. Jakie współrzędne ma obraz punktu \(\displaystyle{ P=(a,b)}\) w symetrii osiowej względem \(\displaystyle{ y=-2x+1}\)

A3. Jaki jest najmniejszy kwadrat liczby naturalnej który ma dwie ostatnie cyfry (cyfrę dziesiątek i jedności) nieparzyste.

A4. Wiedząc że \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|=5 \ , \ \left| \vec{b} \right|=3 \ , \ \angle\left\{ \vec{a}, \vec{b}\right\}= \frac{2\pi}{3}}\), obliczyć \(\displaystyle{ \left| 2\vec{a} -3\vec{b} \right|}\).

A5. Jaki jest wzór na sumę n wyrazów ciągu \(\displaystyle{ 3 \ , \ 33 \ , \ 333 \ , \ 3333 \ , \ ....}\)?

A6. \(\displaystyle{ {5 \choose x}+ {4 \choose x}=5x-1}\)

A7. \(\displaystyle{ \begin{cases} xy=40 \\ \left| x\right|^{\log\left| y\right|}=4 \end{cases}}\)

A8. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania fulla przy losowaniu 5 kart z talii 52 kartowej.

A9. Jakie równania mają asymptoty funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^4-x^3-4x+4}{x^3+2x^2-x-2}}\)

A10. Są cztery różne okręgi o wspólnym środku, takie że trzy pierścienie między nimi i koło ograniczone najmniejszym okręgiem mają równe pola. Proszę rozstrzygnąć czy suma obwodów największego i najmniejszego okręgu jest większa od sumy obwodów dwóch pozostałych okręgów.

A7: A5: A3:

A6:

B1. Dane są wierzchołki kwadratu \(\displaystyle{ (1,-3) \ , \ (3,3)}\). Proszę napisać równanie prostej (lub prostych) która na pewno jest osią symetrii kwadratu.
Na ile części możliwe osie symetrii kwadratu dzielą płaszczyznę układu współrzędnych.

B2. Wykaż że w trójkącie ABC długość dwusiecznej kąta A i zawartej w trójkącie wynosi:
\(\displaystyle{ \left|AA' \right|= \frac{2\left|AB \right|\left|AC \right|\cos \frac{A}{2} }{\left|AB \right|+\left|AC \right|}}\)

B3.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_{x+2}y= \frac{3}{z}-2 \\ \cos x-1=x^2 \\ \left| 5-y\right|+1=2^y \end{cases}}\)

B4. Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych których cyfry (od lewej do prawej) tworzą ciąg rosnący.

B5. Połowę obwodu prostokąta o bokach \(\displaystyle{ 4a,2a}\) podzielono na odcinki długości \(\displaystyle{ a}\). Wykaż bez użycia kalkulatora która z sum długości odcinków (czerwona czy zielona) jest większa.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw[red] (0,1)--(4,0)--(0,2) ;
\draw[green] (3,2)--(4,0)--(2,2) ;
\draw[green] (1,2)--(4,0) ;
\end{tikzpicture}}\)

B6. Ile najmniej (a ile najwięcej) składników zawiera suma kwadratów liczb naturalnych dodatnich równa 2017. Podaj średnią geometryczną z tych składników.

B7. Który z ciągów:
\(\displaystyle{ a_n=7n+5\\
b_n=2^n+3}\)
wcześniej ma wyraz będący kwadratem liczby naturalnej.

B8. Robot znajdujący się w punkcie (0,0) przemieszcza się skacząc z punktu na punkt. Program robota wybiera współrzędne nowego punktu przez dodanie do jednej z aktualnych współrzędnych liczby 1. Jakie jest prawdopodobieństwo że trasa robota zawiera punkt (3,6) ?

B9. Dwa wierzchołki prostokąta o dodatniej rzędnej należą na paraboli \(\displaystyle{ y= \frac{-x^2}{4}+2}\), a pozostałe dwa do osi OX. Oblicz wymiary prostokąta o:
a) największym polu
b) najkrótszej przekątnej

B10. W kwadraty o boku 2R wpisano okręgi. Ile wynosi promień okręgu stycznego do każdego z wpisanych.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw (2,0)--(2,2) ;
\draw (1,2)--(1,4)--(3,4)--(3,2) ;
\draw (0.5,4) node[above] {$a)$};
\draw (5.5,4) node[above] {$b)*$};
\draw (5,0)--(5,2)--(11,2)--(11,0)--(9,0)--(9,4)--(7,4)--(7,0)--(5,0);
\end{tikzpicture}}\)

B7
To zadanie jest jakieś dziwne. Jeżeli dopuszczamy \(\displaystyle{ n=0}\), to odpowiedź jest oczywista, przyjmuję więc \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).
Reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez \(\displaystyle{ 4}\) może być równa tylko \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ 1}\), więc wystarczy bezpośrednio sprawdzić, że \(\displaystyle{ b_1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej. To daje nam, że w ciągu \(\displaystyle{ (b_n)_{n \in \NN^+}}\) nie występują kwadraty liczb naturalnych, bo dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ 2^n+3\equiv 3\pmod{4}}\).
Podobnież w ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie występują kwadraty liczb naturalnych, gdyż dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy, że \(\displaystyle{ a_n}\) daje resztę \(\displaystyle{ 5}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), a kwadraty liczb naturalnych dają reszty 0,1,2,4 z dzielenia przez 7, więc właściwa odpowiedź to WTF I just read.

B6:

B2: B3: B4: B9: B10: -- 2 paź 2016, o 15:02 --B8:

C1. Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^4-2x^2+4>\log ( \cos ( \pi x ))}\)

C2. Współrzędne punktów to całkowite rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}}\)
Jakie jest prawdopodobieństwo że odległość między dwoma punktami jest mniejsza od 12 ?

C3. Ciąg o wyrazach dodatnich zadany jest rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=3 \\ a_n^2+a_{n+1}^2=81 \end{cases}}\)
Proszę obliczyć sumę 2017 początkowych wyrazów tego ciągu.

C4. Wysokość trójkąta o wierzchołku \(\displaystyle{ (2,7)}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ y= \frac{-2}{3}x+4}\), a jego dwusieczna w prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\). Jakie są współrzędne wierzchołków trójkąta oraz jego pole?

C5. Każdy bok dwunastokąta foremnego którego obwód wynosi 12 m powiększono o 0,2 m.
a) Jak duża jest „szpara” między bokami obu dwunastokątów.
b) Jaka będzie „szpara” jeśli obwód dwunastokąta miał początkowo 1,2 m (zamiast 12 m) .

C6. Jedna z krawędzi czworościanu ma długość 2a, a pozostałe krawędzie 3a. Ile wynosi kąt miedzy ścianami czworościanu o różnym polu?

C7. Z jakich ścian można zbudować:
a) sześciościan
b) siedmiościan
(Proszę nie rozróżniać wielokątów tj. kwadrat,prostokąt, romb,... to po prostu czworokąt /czworobok)
Przykład: Pięciościan można zbudować z:
1) 4 trójkątów i 1 czworokąta
2) 2 trójkątów i 3 czworokątów

C8. Proszę wyprowadzić wzór na krzywą której każdy punkt ma własność: jego odległość od prostej \(\displaystyle{ y=-x}\) jest dwa razy większa niż odległość od punktu \(\displaystyle{ (3,3)}\)

C9. Ramiona kąta zawierające się w osi OX oraz prostej \(\displaystyle{ y=x+1}\) przecięto prostymi \(\displaystyle{ l_1: \ y=-x+7}\) oraz \(\displaystyle{ l_2: \ y=-x+9}\) . Punkty przecięcia tych prostych z ramionami kąta to wierzchołki figury \(\displaystyle{ F_1}\). Jakie równanie ma prosta \(\displaystyle{ l_3}\) , równoległa do \(\displaystyle{ l_1}\), jeśli pole figury \(\displaystyle{ F_2}\) ograniczonej prostą \(\displaystyle{ l_3}\), prostą \(\displaystyle{ l_2}\) oraz ramionami kąta jest 2 razy większe od pola \(\displaystyle{ F_1}\).

C10. W pięć sześcianów o boku \(\displaystyle{ 2a}\) ustawionych jak na rysunku wpisano kule. Oblicz:
a) Promień kuli stycznej do każdej z wpisanych w sześciany.
b) Stosunek objętości stożka do objętości walca, jeżeli cztery dolne kule są styczne do podstaw obu brył (leżących w tej samej płaszczyźnie) oraz ich powierzchni bocznych, a górna kula jest styczna do drugiej podstawy walca i powierzchni bocznej stożka.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(6,1.2)--(6,3.2)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw (2,0)--(2,2)--(2.5,2.3) ;
\draw (4,2)--(4,0) ;
\draw (5,0.6)--(5,2.6)--(4,2.6) ;
\draw (1.5,2.3)--(3.5,2.3)--(3.5,4.3)--(1.5,4.3)--(1.5,2.3) ;
\draw (3.5,2.3)--(4.5,2.9)--(4.5,4.9)--(2.5,4.9)--(1.5,4.3) ;
\draw (3.5,4.3)--(4.5,4.9) ;
\draw (6,3.2)--(4.5,3.2) ;
\draw (0,2)--(1.5,2.9);
\draw (1,2.6)--(1.5,2.6);
\end{tikzpicture}}\)

C1
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \cos(\pi x) \le 1}\), więc \(\displaystyle{ \log(\cos(\pi x)) \le \log(1)= 0}\), tymczasem dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^4-2x^2+4>0}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x^4}{2}+8 }{2} \ge 2x^2}\),
co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.
Pozostaje więc zastanowić się nad dziedziną tej całej nierówności:
\(\displaystyle{ \cos(\pi x)>0 \Leftrightarrow \pi x \in \left( -\frac \pi 2+2k\pi, \frac \pi 2+2k\pi\right), k \in \ZZ}\)
Ostateczne rozwiązanie: \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac 1 2 +2k, \frac 1 2+2k\right), k \in \ZZ}\)

Premislav pisze:[...] tymczasem dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^4-2x^2+4>0}\)

Czy nie powinno być w tym miejscu raczej większe lub równe zero? Wówczas z rozwiązania wypadają dwie wartości: \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\).

Tak, masz rację, dałem ciała. Dzięki.

C2