[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
21 też nietkniętemol_ksiazkowy pisze: ↑10 maja 2021, o 12:34 Nierozwiązane są : 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19 i 28 (11 zadań).
Dodano po 1 godzinie 28 minutach 35 sekundach:
Zad 19
Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
Już tknę 21
Pokaże to na przykładzie, który się sprawdza a mianowicie , sumowanie z góry na dół powinno zawsze dawać:
\(\displaystyle{ 2n+1}\)
Pokażę to na przykładzie:
\(\displaystyle{ n=8, 2n=16}\) - będzie wiadomo o co biega:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\9&10&11&12&13&14&15&16\end{bmatrix}}\)
Jak widać ani wierszem ani po kolumnach nie wychodzi to samo, ale zróbmy na razie kolumnowo, żeby było to samo:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\16&15&14&13&12&11&10&19\end{bmatrix}}\)
Tak być musi bo z góry na dół daje \(\displaystyle{ 17}\) w ogólności powinno: \(\displaystyle{ 2n+1}\)
Teraz zajmiemy się wierszami i pokażę, że góra od dołu różni się tak naprawdę o \(\displaystyle{ 8}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\8&8&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&8&8&\\16&15&14&13&12&11&10&9\end{bmatrix}}\)
Teraz dolny wiersz:
Od każdego elementu z dolnego wiersza odejmijmy 8 i zapiszmy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \color{red}{1}&\color{red}{2}&\color{red}{3}&\color{red}{4}&\color{red}{5}&\color{red}{6}&\color{red}{7}&\color{red}{8}\\8&8&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&8&8&\\8&7&6&5&4&3&2&1\end{bmatrix}}\)
Teraz będziemy sumować góra dół po kolumnach tak jak lecą kolory:
Jednakowe kolory dodajemy po kolumnach:
Dodajemy teraz czerwone kolory i czarne kolory kolumnowo:
I otrzymamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&11&12&13&14&7&8\\16&15&6&5&4&3&10&9\end{bmatrix}}\)
Jak widać taki myk możliwy jest jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) rozkłada się równomiernie między pierwszym a trzecim wierszem...
Znaczy:
\(\displaystyle{ n}\)-ki które wędrują do pierwszego wiersza (kolor czerwony) jest ich - \(\displaystyle{ k}\)
Musi być więc:
\(\displaystyle{ 2k+1=n-2k+1}\)
\(\displaystyle{ 4k=n}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{n}{4} }\)
Jak więc widać \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą podzielną przez cztery, żeby spełniała ona wymogi mojej konstrukcji...
cnd...
Pokaże to na przykładzie, który się sprawdza a mianowicie , sumowanie z góry na dół powinno zawsze dawać:
\(\displaystyle{ 2n+1}\)
Pokażę to na przykładzie:
\(\displaystyle{ n=8, 2n=16}\) - będzie wiadomo o co biega:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\9&10&11&12&13&14&15&16\end{bmatrix}}\)
Jak widać ani wierszem ani po kolumnach nie wychodzi to samo, ale zróbmy na razie kolumnowo, żeby było to samo:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\16&15&14&13&12&11&10&19\end{bmatrix}}\)
Tak być musi bo z góry na dół daje \(\displaystyle{ 17}\) w ogólności powinno: \(\displaystyle{ 2n+1}\)
Teraz zajmiemy się wierszami i pokażę, że góra od dołu różni się tak naprawdę o \(\displaystyle{ 8}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\8&8&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&8&8&\\16&15&14&13&12&11&10&9\end{bmatrix}}\)
Teraz dolny wiersz:
Od każdego elementu z dolnego wiersza odejmijmy 8 i zapiszmy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \color{red}{1}&\color{red}{2}&\color{red}{3}&\color{red}{4}&\color{red}{5}&\color{red}{6}&\color{red}{7}&\color{red}{8}\\8&8&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&8&8&\\8&7&6&5&4&3&2&1\end{bmatrix}}\)
Teraz będziemy sumować góra dół po kolumnach tak jak lecą kolory:
Jednakowe kolory dodajemy po kolumnach:
Dodajemy teraz czerwone kolory i czarne kolory kolumnowo:
I otrzymamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&11&12&13&14&7&8\\16&15&6&5&4&3&10&9\end{bmatrix}}\)
Jak widać taki myk możliwy jest jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) rozkłada się równomiernie między pierwszym a trzecim wierszem...
Znaczy:
\(\displaystyle{ n}\)-ki które wędrują do pierwszego wiersza (kolor czerwony) jest ich - \(\displaystyle{ k}\)
Musi być więc:
\(\displaystyle{ 2k+1=n-2k+1}\)
\(\displaystyle{ 4k=n}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{n}{4} }\)
Jak więc widać \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą podzielną przez cztery, żeby spełniała ona wymogi mojej konstrukcji...
cnd...
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3356 razy
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
Moim zdaniem to każda parzysta większa od 2. Przykład dla \(\displaystyle{ n=6 \ : \\
\begin{bmatrix} 12&2&10&4&5&6\\1&11&3&9&8&7 \end{bmatrix}}\)
8:
28:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
Jeszcze inne podejście do zadania 28:
W ciele: \(\displaystyle{ Z_{17}}\) jest tylko jedna liczba spełniająca warunek zadania a mianowicie:
\(\displaystyle{ 3^5=5}\)
co w przełożeniu na naturalne mamy:
\(\displaystyle{ 3^{5+16x}=5+17y \mod 17}\)
Teraz kiedy:
\(\displaystyle{ 5+16x=5+17y}\)
lub:
\(\displaystyle{ 16x=17y}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x=17k , y=16k}\)
co da nam:
\(\displaystyle{ n=5+16 \cdot 17k=5+272k}\)
\(\displaystyle{ n=5+272k}\) - dla nich spełnia...
(co jak widać nie daje wszystkich)...
Dodano po 1 dniu 5 godzinach 37 minutach 54 sekundach:
Winien jestem do 21 pokazać dla parzystych n ale niepodzielnych przez 4 jak uogólnić sprawę bo dla podzielnych fajnie się wykonało ale to niepełne,
otóż rozpiszę:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n&n-1&n-2&...& \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1 \\ n&n&n&...&n&n&...&n \\ 1&2&3&...& \frac{n}{2}& \frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)
Sumy po kolumnach są takie same trzeba rozdzielić \(\displaystyle{ n}\) ki... enek jest: \(\displaystyle{ n+2}\) w każdym wierszu winno być ich: \(\displaystyle{ \frac{n}{2}+1}\)
Permutujemy od drugiej do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}-1 }\) - kolumny mniej więcej tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n&2&3&...& \frac{n}{2}+1 & \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1 \\ n&n&n&...&n&n&n&...&n \\ 1&n-1&n-2&...& \frac{n}{2} & \frac{n}{2}& \frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)
I teraz sumujemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2n&2+n&3+n&...& \frac{n}{2}+1+n & \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1+n \\1&n-1&n-2&...& \frac{n}{2} &n+\frac{n}{2}& n+\frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)
Teraz powinno być ok...
W ciele: \(\displaystyle{ Z_{17}}\) jest tylko jedna liczba spełniająca warunek zadania a mianowicie:
\(\displaystyle{ 3^5=5}\)
co w przełożeniu na naturalne mamy:
\(\displaystyle{ 3^{5+16x}=5+17y \mod 17}\)
Teraz kiedy:
\(\displaystyle{ 5+16x=5+17y}\)
lub:
\(\displaystyle{ 16x=17y}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x=17k , y=16k}\)
co da nam:
\(\displaystyle{ n=5+16 \cdot 17k=5+272k}\)
\(\displaystyle{ n=5+272k}\) - dla nich spełnia...
(co jak widać nie daje wszystkich)...
Dodano po 1 dniu 5 godzinach 37 minutach 54 sekundach:
Winien jestem do 21 pokazać dla parzystych n ale niepodzielnych przez 4 jak uogólnić sprawę bo dla podzielnych fajnie się wykonało ale to niepełne,
otóż rozpiszę:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n&n-1&n-2&...& \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1 \\ n&n&n&...&n&n&...&n \\ 1&2&3&...& \frac{n}{2}& \frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)
Sumy po kolumnach są takie same trzeba rozdzielić \(\displaystyle{ n}\) ki... enek jest: \(\displaystyle{ n+2}\) w każdym wierszu winno być ich: \(\displaystyle{ \frac{n}{2}+1}\)
Permutujemy od drugiej do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}-1 }\) - kolumny mniej więcej tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n&2&3&...& \frac{n}{2}+1 & \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1 \\ n&n&n&...&n&n&n&...&n \\ 1&n-1&n-2&...& \frac{n}{2} & \frac{n}{2}& \frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)
I teraz sumujemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2n&2+n&3+n&...& \frac{n}{2}+1+n & \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1+n \\1&n-1&n-2&...& \frac{n}{2} &n+\frac{n}{2}& n+\frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)
Teraz powinno być ok...
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11581
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy