Matematyka.pl

Chodzi o drugi przykład, liczę z Cauchy'ego dostaję taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{x}{(1+x)^{2n}} \right| } = \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| }}\) i dalej nie wiem jak znaleźć ten x..

Ta granica juz ci się policzyła. Musisz
a) sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsza niż 1.
B) doradzić co się dzieje z szeregiem gdy ta granica jest równa jeden.
C) zauważyć, że dla zera ta granica jest jednak trochę inna

a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| } < 1 \Leftrightarrow x \in (- \infty , -2) \cup (0, \infty )}\)
b) Tak jak wcześniej napisałeś że, dla x=0 wszystkie wyrazy są równe zero. Jednak nie wiem jak to się ma do rozwiązania.
c) Mógłbyś tutaj rozwinąć o co chodzi?

c) Liczysz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{x}{(1+x)^{2n}} \right| } = \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| } i}\)

Ale ta równośc nie jest prawdą gdy \(\displaystyle{ x=0}\)

A nie liczyłem tego w a? Jeżeli nie to jak teraz to obliczyć?

ILe jest równy KAŻDY wyraz po lewej stronie w tej granicy dla \(\displaystyle{ x=0}\)? Ile zatem wynosi ta granica?

Każdy wyraz jest równy 0

No wlasnie, więc granica też.

Czyli rozwiazaniem bedzie przedzial \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup <0,- \infty )}\) ?