[Teoria liczb] Mix zadań.

[Zahion]

9:    

Wezmy \(\displaystyle{ k = 1}\), mamy, że \(\displaystyle{ p^{4}=5^{4}=625=7^{2}+24^{2}=15^{2}+20^{2}}\), dwa rozkłady.

5 zadanie bez podpunktu b)

[marcin7Cd]

Już wiem co zrobiłem źle w 9. Oto poprawione rozwiązanie

Ukryta treść:    

Będe korzystał z tego, że rozwiązania względnie pierwsze równania \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2}\) są postaci \(\displaystyle{ x=m^2-n^2 \ y=2mn \ z=m^2+n^2 \hbox{gdzie} NWD(m,n)=1}\). Dowód tego można łatwo znaleźć na wikipedi pod hasłem trójki pitagorejskie. Teraz jeśli rozważę równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=p^4}\).
Rozważmy dwa przypadki:
1) jeśli \(\displaystyle{ p|x}\) lub \(\displaystyle{ p|y}\)
to wtedy \(\displaystyle{ p|x}\) i \(\displaystyle{ p|y}\) więc zapiszmy \(\displaystyle{ x=x_1p \ y=y_1p}\). Równanie przybiera postać \(\displaystyle{ x_1^2+y_1^2=p^2}\). Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ NWD(X_1,y_1)=1}\), bo gdyby istniał dzielnik \(\displaystyle{ d>1}\) to wtedy \(\displaystyle{ d^2|p^2 \Rightarrow d=p \Rightarrow x_1^2+y_1^ \ge 2d^2=2p^2>p^2}\) sprzeczność. Co oznacza rozwiązania tego równania jest postaci
\(\displaystyle{ x_1=m^2-n^2 \ y_1=2mn \ p=m^2+n^2}\) jednak Z założenia jest tylko jedna para liczb \(\displaystyle{ m,n}\) spełniająca ta równanie.
2) Jeśli \(\displaystyle{ NWD(x,y)=1}\) To wtedy rozwiązania równania jest postaci \(\displaystyle{ x=a^2-b^2 \ y=2ab \ p^2=a^2+b^2}\) Ostatnie równanie ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach \(\displaystyle{ a,b}\). Udowodniłem to w poprzednim podpunkcie dla liczb \(\displaystyle{ x_1,y_1}\)
Co daje dwa przedstawienia liczb \(\displaystyle{ p^4}\) jako sumy dwóch kwadratów.

[Zahion]

Ukryta treść:    

Warto tutaj dodać, że
\(\displaystyle{ p = \left( a^{2}\left( a^{2}+b^{2}\right)-b^{2}\left( a^{2}+b^{2}\right) \right)^{2}+\left( 2\left( a^{2}+b^{2}\right)ab \right)^{2} =\left( a^{4}-6a^{2}b^{2}+b^{4}\right)^{2}+\left( 4ab\left( a^{2}-b^{2}\right) \right)^{2}}\)