Moc klas abstrakcji/zbioru ilorazowego

[Jan Kraszewski]

funkcje są w tej relacji, jeśli ich przeciwobrazy są równe. Przeciwobraz funkcji to zbiór argumentów tej funkcji, który spełnia własność, że wartość funkcji dla tych argumentów nalezy do zadanego zbioru. Zbiory są równe jeśli każdy element zboru pierwszego należy do zbioru drugiego i odwrotnie. Do tych zbiorów argumentów może należeć przeliczalnie wiele argumentów (co najwyżej \(\displaystyle{ \mathbb N}\)).

No niestety, nie zrobiłeś tego, o co Cię prosiłem - zamiast zrozumieć, zacytowałeś wszystkie definicje. Ale z tego nic nie wynika. Napiszę, o co mi chodzi, ale to może pomoże Ci tylko w tym zadaniu - w następnym polegniesz.

Skoro klasy abstrakcji utożsamiamy z podziałami,

Nieprawda, klas abstrakcji nie utożsamiamy z podziałami. Z podziałami możesz utożsamiać co najwyżej relacje równoważności, ale też trzeba rozumieć, co to znaczy "utożsamiać".

to tutaj możemy klasy abstrakcji utożsamić ze zbiorami funkcji, których przeciwobrazy tworzą podzbiory zbioru na którym określamy te funkcje, czyli \(\displaystyle{ \mathbb N}\).

Ciężko powiedzieć, co miałoby znaczyć to zdanie.

Wydaje mi się, że cecha, która łączy dwie funkcje równoważne to liczba elementów zbioru argumentów. Nie wiem czy ten opis jest prawidłowy.

Nie jest prawidłowy.

Gdzieś przeczytałem, że na klasy abstrakcji należy popatrzeć z góry.

Być może nawet ja to napisałem (w każdym razie na pewno mówię to studentom), ale trzeba rozumieć, co to znaczy.

Tzn mam continuum funkcji z \(\displaystyle{ \mathbb N ^{\mathbb N}}\) i zadaną relację. Jedyna cecha jaką widzę to liczba elementów zbioru argumentów, tworzących ten przeciwobraz.

Nie o to chodzi.

To, co jest istotne, to zauważenie, że dwie funkcje są równoważne, jeśli dokładnie dla tych samych argumentów przyjmują wartości większe od jeden, albo - równoważnie - że dla tych samych argumentów przyjmują wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\). To nam pozwala zauważyć, że dla danej klasy abstrakcji zbiór tych właśnie argumentów, dla których wszystkie funkcje z tej klasy przyjmują wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \NN}\), który z tą klasą można jednoznacznie związać (trzeba uzasadnić, dlaczego z różnymi klasami związujemy różne zbiory).

JK

[Krystian_55]

W zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\) definiujemy relacje równowazności następujaco:
\(\displaystyle{ f\equiv g \Leftrightarrow \forall n\in\mathbb N \left ( \left ( f(2n)=g(2n) \right )\wedge f(n)\cdot g(n)> 0\vee f(n)=0=g(n)) \right )}\)

(a) Znajdź moc zbioru ilorazowego tej relacji.
(b)Wyznacz moc klasy abstrakcji funkcji stale równej zero.
(c)Rozstrzygnij czy wszystkie klasy abstrakcjitej relacji są równoliczne.

Ad (a) Ograniczenie górne \(\displaystyle{ \left | \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \right/_{\equiv } |\leq \left | \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \right |=\mathfrak{C}}\).

Wszystkich klas abstrakcji będzie \(\displaystyle{ \mathfrak{C}}\), tylko nie wiem jak znaleźć ograniczenie dolne, myslałem, zeby klasy abstrakcji powiązać z ciągami 0-1?

Ad (b) jest dokładnie jedna taka funkcja która jest w tej relacji z funkcją stale równą 0.

Ad(c) weźmy funkcji stale równą 1, wtedy moc jej klasy abstrakcji jest co najmniej 2, a z (b) wiemy, ze funkcja stale równa 0 m klase abstrakcji równą 1.

[Medea 2]

Zastanowiłeś się już, jak "działa" ta relacja? Jeżeli nie, to z rozwiązaniem będziesz mieć co najmniej tyle problemów, co z poprzednim zadaniem. No i... w którą stronę wiążą spójniki? Zdanie \(\displaystyle{ p \vee q \wedge r}\) nie wygląda na jednoznaczne.

Ciągi zero-jedynkowe? Dowolne? Konkretne? Musisz być bardziej precyzyjny.

Przykład b) okej, w c) podałabym tę funkcję, która jest równoważna z \(\displaystyle{ f(x) = 1}\).