Matematyka.pl

Oglądałem to aczkolwiek nie rozumiem jakoś tego to jest dla mnie czarna magia.

No to masz to obejrzeć 100 razy+wszystkie filmiki tam i wtedy zacząć samodzielnie próbować. Pamiętaj, na kolosie nie masz nas, więc jak sam tego nie zrobisz teraz to i na kolosie sam tego nie zrobisz

Ok ten przykład zostawię sobie na później, a teraz czy ten zrobiłem dobrze ?
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt{ 5^{n}+ 6^{n}+ 2^{n} } = \lim_{n\to\infty} \sqrt{ 6^{n}( \frac{ 5^{n} }{ 6^{n} }+1+ \frac{ 2^{n} }{ 6^{n} } })= \lim_{n\to\infty} \sqrt{ 6^{n}(1) }= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ( \sqrt{n} - \sqrt{ 4n^{2}+1 })= \lim_{n\to\infty} ( \sqrt{n} - \sqrt{ 4n^{2}+1 }) \cdot \frac{( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}{( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}= \lim_{n\to\infty} \frac{( \sqrt{n})^{2} - (\sqrt{ 4n^{2}+1 })^{2}}{ ( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}= \lim_{n\to\infty} \frac{n- 4n^{2}+1 }{( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}}\) i co dalej ?

pierwszy dobrze , w przypadkach takich jak drugi zawsze wyciagasz przed nawias najwieksza wielokrotnosc n ( w celu pozbycia sie nieoznaczonosci).

A w drugim nie lepiej skorzystać z mnożenia przez sprzężenie czy jakoś tak ?

Marcin94, przecież to wlasnie zrobiles...

Tu się rąbnąłeś:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{( \sqrt{n})^{2} - (\sqrt{ 4n^{2}+1 })^{2}}{ ( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}= \lim_{n\to\infty} \frac{n- 4n^{2}+1 }{( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{( \sqrt{n})^{2} - (\sqrt{ 4n^{2}+1 })^{2}}{ ( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}= \lim_{n\to\infty} \frac{n- 4n^{2}-1 }{( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}}\)

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ n}\). Dojdziesz do wniosku, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n- 4n^{2}-1 }{( \sqrt{n} + \sqrt{ 4n^{2}+1 })}=- \infty}\)