VIII edycja Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"

[AndrzejK]

kto się pochwali wynikami?
1. rozpatrzenie wszystkich reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ 30}\) i wykazanie, że dla złożonych reszt liczba jest złożona
2. podstawienie, równanie kwadratowe, wychodzi 2 i -2
3. 4
4. nie pamiętam już wyniku, miło by było gdyby ktoś swój podał i powiem czy mam taki sam.
5. \(\displaystyle{ m in (-infty; -1] cup [ 1; infty)}\)
6. nie pamiętam wyników, niech ktoś poda swoje i powiem czy mam takie same.
7. o ile dobrze pamiętam to były \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{\sqrt{2}}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{4}}\), a krzywa jest parabolą o równaniu \(\displaystyle{ x=\frac{3}{8}y^2-2}\) jeśli dobrze pamiętam.

[Konradek]

6. nie pamiętam wyników, niech ktoś poda swoje i powiem czy mam takie same.
7. o ile dobrze pamiętam to były \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{\sqrt{2}}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{4}}\), a krzywa jest parabolą o równaniu \(\displaystyle{ x=\frac{3}{8}y^2-2}\) jeśli dobrze pamiętam.

W 6 dwie sytuacje: gdy sfery były styczne do tych samych ścian - wtedy wartość najmniejsza nie istnieje, a największa jest, gdy promień większej sfery był równy połowie boku sześcianu. W drugiej sytuacji (sfery styczne w przeciwnych narożach) najmniejsze pole było gdy promienie były sobie równe (nie pamiętam dokładnie ile), a największa jak w przypadku pierwszym.

Skąd Ty to wytrzasnąłeś z parabolą w 7? Według mnie to był fragment okręgu o środku w połowie odległości pomiędzy danym okręgiem, a punktem M. Łatwe do udowodnienia twierdzenie, które mówi, że sieczna "tworzy" taką cięciwę, że promienie poprowadzone do punktów wspólnych to ramiona trójkąta równoramiennego, a co za tym idzie wysokość wychodząca z wierzchołka będącego jednocześnie środkiem okręgu jest taka, że powstaje trójkąt prostokątny, a każdy taki trójkąt jest wpisany w taki okrąg, że jego średnicą jest przeciwprostokątna, czyli odległość od punktu M do środka okręgu.

[Damian1996]

Moje odpowiedzi pokrywają się z odpowiedziami Andrzeja do 1-5 zadań, 6 i 7 mam tak jak kolega powyżej. I też jestem ciekaw skąd wziąłeś parabolę w zadaniu 7
A odpowiedź w czwartym mam następującą
\(\displaystyle{ \frac{ 3^{n} -\left(3 + \left( 2^{n}-2 \right) \right) }{3!}}\)

[AndrzejK]

4. mam tak jak ty albo bardzo podobny wynik, niestety nie pamiętam go
7. macie racje, będzie okrąg, a nie parabola - założyłem pewną nieprawdziwą rzecz i przez to całe zadanie mam źle .

[Chewbacca97]

Moje odpowiedzi do zadań 1-3. pokrywają się z AndrzejK, 4. z Damian1996. W 5. wyszło mi jednak \(\displaystyle{ m \in (-\infty;-3\rangle \cup \left\{ -1\right\} \cup \left\langle1; \infty)}\). W 6. chyba faktycznie nie uwzględniłem pierwszej sytuacji, którą opisał Konradek. A 7. mam mniej więcej tak jak Konradek.

[Damian1996]

Zawsze to tylko połowa zadania, więc z przejściem nie powinno być żadnego problemu
W 5 też przez moment miałem odpowiedź taką jak Ty Chewbacca, ale potem zauważyłem, że trzeba jeszcze uwzględnić sytuację, gdy \(\displaystyle{ \Delta > 0}\), wtedy nierówność jest prawdziwa, gdy oba pierwiastki funkcji kwadratowej są ujemne

[Asapi]

Mi generalnie wyszły takie same odpowiedzi, poza zadaniem czwartym, na które jakoś nie miałem pomysłu (gdyby komuś chciało się rozpisać w jaki sposób je robił byłbym bardzo wdzięczny). Niestety już po wysłaniu zorientowałem się że w piątym popełniłem błąd rachunkowy, który nie wpłyną na rozwiązanie, ale pewnie potną mi za to kilka punktów. A w 7 równanie krzywej liczyłem trochę na około zakładając, że cięciwy mają takie samo równanie jak styczne, jeżeli chodzi o stosunek współczynników, muszą też mieć 2 punkty przecięcia z okręgiem, a współrzędne środka są średnimi arytmetycznymi tych punktów, po porównaniu tego z układem, z którego liczyłem styczne i paru przekształceniach wychodzi poprawny wynik, przynajmniej taką mam nadzieję.

[Damian1996]

Asapi
Bardzo podobnie jak Ty uzyskałem tą krzywą, więc skoro wyszedł poprawny wynik, to powinno być dobrze :-D

[Konradek]

\(\displaystyle{ \frac{ 3^{n} -\left(3 + \left( 2^{n}-2 \right) \right) }{3!}}\)

Brednie. Dla \(\displaystyle{ n=3}\) (jak mogłeś tego nie sprawdzić?) to wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ 3}\).

Wszystkie możliwe ustawienia: \(\displaystyle{ 3 ^{n}}\)
Dokładnie dwa zbiory puste: \(\displaystyle{ 3 \cdot 1}\)
Dokładnie jeden pusty: \(\displaystyle{ 3(2 ^{n}-2)}\)

\(\displaystyle{ 3 ^{n}-[3(2 ^{n}-2)+3 \cdot 1]=3 ^{n}-(3 \cdot 2 ^{n}-6+3)=3 ^{n}-3 \cdot 2 ^{n}+3}\)

Po uwzględnieniu "powtarzalności":

\(\displaystyle{ \frac{3 ^{n}-3 \cdot 2 ^{n}+3}{3!}}\)

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ \frac{3 ^{n}-3 \cdot 2 ^{n}+3}{3!}}\)

O, właśnie taki mam wynik.

[Damian1996]

Mam tak samo, po prostu pisałem ten wynik z pamięci i zapomniałem o trójce

[Chewbacca97]

Tak jest, również nie zauważyłem że coś nie gra w tym wyniku. Teraz oczywiście jest dobrze.

[durendal96]

Ja podobnie, od 1-5 mam tak jak AndrzejK, w 7 też mi wyszło, że ta krzywa jest fragmentem okręgu. Policzylem środki cieciw w zależności od parametru a, w prostych przechodzących przez punkt M i przecinajacych ten okrąg. I na podstawie tego udowodnilem, że to fragment okręgu. 6 mam podobnie jak wy, ale nie pamiętam wyników.

[2201]

Jakie mieliście podstawienie w 2?

[Damian1996]

2201,
\(\displaystyle{ t = \left( \sqrt{5+2 \sqrt{6} } \right) ^{x}}\)