[MIX] Zadania różne III
: 3 lip 2014, o 23:56
autor: fon_nojman
5:
Z warunku \(\displaystyle{ f( f( f(x)) )= x, x\in \mathbb{R}}\) wynika, że \(\displaystyle{ f}\) ma funkcję odwrotną a stąd jest różnowartościowe. Funkcja ciągła, różnowartościowa na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) musi być ściśle monotoniczna. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest identycznością. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca. Istnieje \(\displaystyle{ x_0}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x_0)=x_1, x_1\not= x_0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x_1)=x_2, x_2\not= x_1, x_2\not= x_0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x_2)=x_0.}\) Mamy sześć przypadków \(\displaystyle{ x_1<x_2<x_0, x_2<x_1<x_0,\ldots.}\) Np. dla \(\displaystyle{ x_1<x_2<x_0}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2)<f(x_0) \Leftrightarrow x_2<x_0<x_1}\) sprzeczność. Analogicznie pozostałe przypadki oraz przypadek funkcji ściśle malejącej.
Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością czyli musi spełniać \(\displaystyle{ f (f(x))= x.}\)
Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością czyli musi spełniać \(\displaystyle{ f (f(x))= x.}\)
25:
.
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ A^2-}\) zbiór liczb naturalnych mniejszych bądź równych \(\displaystyle{ 10^{30},}\) które są kwadratami liczb naturalnych,
\(\displaystyle{ A^3-}\) zbiór liczb naturalnych mniejszych bądź równych \(\displaystyle{ 10^{30},}\) które są sześcianami liczb naturalnych,
\(\displaystyle{ A^5-}\) zbiór liczb naturalnych mniejszych bądź równych \(\displaystyle{ 10^{30},}\) które są piątymi potęgami liczb naturalnych.
\(\displaystyle{ A^2=\{1^2,2^2,3^2,\ldots,(10^{15})^2\}}\) czyli \(\displaystyle{ |A^2|=10^{15}.}\) Podobnie \(\displaystyle{ |A^3|=10^{10}, |A^5|=10^6.}\)
\(\displaystyle{ A^2 \cap A^3=\{1^6,2^6,3^6,\ldots,(10^5)^6\}}\) czyli \(\displaystyle{ |A^2 \cap A^3|=10^5.}\) Podobnie \(\displaystyle{ |A^2 \cap A^5|=10^3, |A^3 \cap A^5|=10^2.}\)
\(\displaystyle{ A^2 \cap A^3 \cap A^5=\{1^{30},2^{30},3^{30},\ldots,10^{30}\}, |A^2 \cap A^3 \cap A^5|=10.}\)
Z zapowiadanego wzoru mamy
\(\displaystyle{ |A^2 \cup A^3 \cup A^5|=|A^2|+|A^3|+|A^5|-|A^2 \cap A^3|-|A^2 \cap A^5|-| A^3 \cap A^5|+|A^2 \cap A^3 \cap A^5|=10^{15}+10^{10}+10^5-10^5-10^3-10^2+10=1000009999998910.}\)
Odp:\(\displaystyle{ 10^{30}-1000009999998910=999999999999998999990000001090.}\)
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ A^2-}\) zbiór liczb naturalnych mniejszych bądź równych \(\displaystyle{ 10^{30},}\) które są kwadratami liczb naturalnych,
\(\displaystyle{ A^3-}\) zbiór liczb naturalnych mniejszych bądź równych \(\displaystyle{ 10^{30},}\) które są sześcianami liczb naturalnych,
\(\displaystyle{ A^5-}\) zbiór liczb naturalnych mniejszych bądź równych \(\displaystyle{ 10^{30},}\) które są piątymi potęgami liczb naturalnych.
\(\displaystyle{ A^2=\{1^2,2^2,3^2,\ldots,(10^{15})^2\}}\) czyli \(\displaystyle{ |A^2|=10^{15}.}\) Podobnie \(\displaystyle{ |A^3|=10^{10}, |A^5|=10^6.}\)
\(\displaystyle{ A^2 \cap A^3=\{1^6,2^6,3^6,\ldots,(10^5)^6\}}\) czyli \(\displaystyle{ |A^2 \cap A^3|=10^5.}\) Podobnie \(\displaystyle{ |A^2 \cap A^5|=10^3, |A^3 \cap A^5|=10^2.}\)
\(\displaystyle{ A^2 \cap A^3 \cap A^5=\{1^{30},2^{30},3^{30},\ldots,10^{30}\}, |A^2 \cap A^3 \cap A^5|=10.}\)
Z zapowiadanego wzoru mamy
\(\displaystyle{ |A^2 \cup A^3 \cup A^5|=|A^2|+|A^3|+|A^5|-|A^2 \cap A^3|-|A^2 \cap A^5|-| A^3 \cap A^5|+|A^2 \cap A^3 \cap A^5|=10^{15}+10^{10}+10^5-10^5-10^3-10^2+10=1000009999998910.}\)
Odp:\(\displaystyle{ 10^{30}-1000009999998910=999999999999998999990000001090.}\)
30:
To jest tzw. .
Zdefiniujmy zmienne losowe:
\(\displaystyle{ T_{n,0}-}\) równe stale \(\displaystyle{ 1,}\) liczba losowań potrzebna do wylosowania pierwszej liczby,
\(\displaystyle{ T_{n,1}-}\) liczba kolejnych losowań potrzebna do wylosowania liczby różnej od pierwszej,
\(\displaystyle{ \ldots}\)
\(\displaystyle{ T_{n,k}-}\) liczba kolejnych losowań potrzebna do wylosowania liczby różnej od pierwszej, drugiej,..., \(\displaystyle{ k-}\)tej,
\(\displaystyle{ T_n=T_{n,0}+T_{n,1}+\ldots+T_{n,n-1}.}\)
Zmienne losowe \(\displaystyle{ T_{n,k}}\) mają rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ \frac{n-k}{n},}\) zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{E}T_n=\frac{n}{n-0}+\frac{n}{n-1}+\ldots+\frac{n}{n-(n-1)}=n\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.}\)
Zdefiniujmy zmienne losowe:
\(\displaystyle{ T_{n,0}-}\) równe stale \(\displaystyle{ 1,}\) liczba losowań potrzebna do wylosowania pierwszej liczby,
\(\displaystyle{ T_{n,1}-}\) liczba kolejnych losowań potrzebna do wylosowania liczby różnej od pierwszej,
\(\displaystyle{ \ldots}\)
\(\displaystyle{ T_{n,k}-}\) liczba kolejnych losowań potrzebna do wylosowania liczby różnej od pierwszej, drugiej,..., \(\displaystyle{ k-}\)tej,
\(\displaystyle{ T_n=T_{n,0}+T_{n,1}+\ldots+T_{n,n-1}.}\)
Zmienne losowe \(\displaystyle{ T_{n,k}}\) mają rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ \frac{n-k}{n},}\) zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{E}T_n=\frac{n}{n-0}+\frac{n}{n-1}+\ldots+\frac{n}{n-(n-1)}=n\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.}\)