Średnia wartość funkcji, problem z całką

[Gdziemojekonie]

ojjj, źle napisałem 1 post, tam powinno być \(\displaystyle{ x \in \left\langle 1,4\right\rangle}\)

a więc ostatecznie

\(\displaystyle{ \int_{1}^{4} \frac{2x ^{3}+x }{x ^{2} } \mbox{d}x = \left[ x ^{2} + ln\left| x\right|\right]_{1}^{4 }=16+ln\left| 4\right| - 1 = 15 + ln\left| 4\right|}\)

zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ b - a , 4-1 = 3}\)

\(\displaystyle{ = \frac{15 + ln\left| 4\right| }{ 3} =}\) ?

pisał ktoś żebym traktował \(\displaystyle{ ln\left| 4\right|}\) jako normalną liczbę przez którą mam dzielić, ale jak podzielić \(\displaystyle{ ln\left| 4\right|}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) ? Nie mogę po prostu \(\displaystyle{ 15}\) podzielić przez \(\displaystyle{ 3}\) i wyjdzie nam ładna liczba \(\displaystyle{ 5+ln\left| 4\right|}\) ?

[czeslaw]

Możesz podzielić, tyle że \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}}\). Czyli w Twoim przypadku \(\displaystyle{ \frac{15 + \ln4}{3} = 5 + \frac{\ln4}{3}}\). Możesz też jeszcze włączyć \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) do wartości logarytmowanej: \(\displaystyle{ 5+\ln \sqrt[3]{4}}\). Przede wszystkim jednak powinieneś odświeżyć podstawy przekształceń algebraicznych, no i przyzwyczaić się do wyników w takiej postaci jak napisałeś. To naprawdę nie wymaga już dalszych zmian. Jeśli chcesz znać przybliżoną wartość, po prostu weź kalkulator

[Gdziemojekonie]

spróbuję teraz drugi przykład, tą całkę pewnie mam rozwiązać metodą podstawienia, co dać za t? cosx ?
b)
\(\displaystyle{ f(x)=cosx(1+sinx) , x \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)

[czeslaw]

\(\displaystyle{ t=\sin x + 1}\)

[Gdziemojekonie]

więc licząc całkę nieoznaczoną
będziemy mieli

\(\displaystyle{ \int cosx(1+sinx) \mbox{d}x =}\)

\(\displaystyle{ t=sinx+1}\)
\(\displaystyle{ dt=cosx \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ = \int tdt = sinx+1 + C}\)

dobrze?

[waliant]

niedobrze, bo \(\displaystyle{ \int_{}^{} tdt \neq t}\)

[Gdziemojekonie]

myślałem, że muszę zastosować tu wzór
\(\displaystyle{ \int x \mbox{d}x =x+C}\)

więc z jakiego wzoru muszę skorzystać?

[waliant]

myślałem, że muszę zastosować tu wzór
\(\displaystyle{ \int x \mbox{d}x =x+C}\)

Nie ma przecież takiego wzoru. Mylisz z \(\displaystyle{ \int_{}^{} 1dx =x + C}\).

Tutaj skorzystaj z \(\displaystyle{ \int_{}^{} x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}\)

[Gdziemojekonie]

faktycznie nie widziałem nigdzie tego wzoru, prócz u mnie na wykładach, a na ćwiczeniach mieliśmy zakaz używania innych wzorów niż te podane, w tym ten który powiedziałeś że nie istnieje, ale mniejsza z tym

więc korzystając z prawidłowego wzoru

\(\displaystyle{ = \int tdt = \frac{t ^{2} }{2} + C = \frac{(sinx+1) ^{2} }{2}+ C}\)
teraz jest ok?

[waliant]

tak

[Gdziemojekonie]

więc idąc dalej liczę całkę oznaczoną

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }cosx(1+sinx)= \left[ \frac{(sinx+1) ^{2} }{2}\right]_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }= \frac{(sin \frac{ \pi }{2}+1) ^{2} }{2}- \frac{(sin0+1) ^{2} }{2}= ?}\)

jak mam to wyliczyć?

[waliant]

\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{2} = 1 \\ \sin 0 = 0}\)-- 21 cze 2014, o 13:52 --Ale co do wyliczonej całki nie mogę znaleźć błędu a wolfram pokazuje inaczej. Może ktoś wie co jest grane, bo chyba coś źle widzę ?

[Gdziemojekonie]

uznając, że całka jest dobrze liczę dalej

\(\displaystyle{ =2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}}\)

teraz korzystając z ostatniego wzoru podstawiam pod b i a a następnie dzielę \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} - 0 = \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1\frac{1}{2}}{\frac{ \pi }{2}}}\)

dziwny wynik, ale chyba dobrze?

[waliant]

wynik to \(\displaystyle{ \frac{3}{ \pi }}\) , więc ok.