Kilka zadań z logiki

[PAK]

Dobra ,już chyba widzę o co chodzi.Natomiast \(\displaystyle{ F_n}\) no to jest ten \(\displaystyle{ n}\)-ty zbiór zdefiniowany rekurencyjnie dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\).Natomiast w linku było podane że \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}F_n}\) i się zastanawiałem czy \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}F_n=F_n}\) ?

[Jan Kraszewski]

Natomiast w linku było podane że \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}F_n}\) i się zastanawiałem czy \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}F_n=F_n}\) ?

Czy rozumiesz zapis

\(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}F_n\ ?}\)

Bo pytanie, czy \(\displaystyle{ F=F_n}\) wskazuje, że chyba nie - to pytanie nie ma sensu. Lewa strona nie zależy od \(\displaystyle{ n}\). Czym jest \(\displaystyle{ n}\) po prawej stronie?

JK

[PAK]

W takim razie nie rozumiem o co chodzi z \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}F_n}\)

[Jan Kraszewski]

Suma indeksowanej rodziny zbiorów.

JK

[PAK]

Dla mnie \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n=F_0 \cup F_1 \cup ... \cup F_n}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x\in F_k}\) , \(\displaystyle{ k\in \NN \wedge k \le n}\) to \(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n\in\NN}F_n}\)
Wg mnie zachodzi \(\displaystyle{ F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq ... \subseteq F _{n}}\)
Więc zbiór \(\displaystyle{ F_n}\) chyba powinien już zawierać w sobie wszystkie inne zbiory ,czyli być jednocześnie sumą.Chociaż w sumie nie wiem jak powinien wyglądać ten zbiór.Bo tak to z liczbami to jeszcze mógłbym sobie coś wyobrazić,dlaczego taka suma nie zależy od \(\displaystyle{ n}\) ,a tutaj to już nie wiem.

[Jan Kraszewski]

Dla mnie \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n=F_0 \cup F_1 \cup ... \cup F_n}\)

Zupełnie nie.

Ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n=\left\{ x:(\exists n\in\NN)x\in F_n\right\}}\), więc nieformalnie można zapisać to tak:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n=F_0 \cup F_1 \cup ... \cup F_n\cup...}\)

JK

[PAK]

Czyli \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n}\) to suma zbiorów od \(\displaystyle{ F_0}\) do \(\displaystyle{ F_n}\) i czego jeszcze ? Jak w końcu będzie wyglądać \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n}\) ?

[Jan Kraszewski]

Czyli \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n}\) to suma zbiorów od \(\displaystyle{ F_0}\) do \(\displaystyle{ F_n}\) i czego jeszcze ?

Powtarzam, suma \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n}\) nie zależy w żaden sposób od \(\displaystyle{ n}\), które występuje w niej wyłącznie jako zmienna indeksująca. Masz nieskończony ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (F_n)}\) i to jest suma wszystkich zbiorów z tego ciągu.

JK

[PAK]

No niech będzie.A dlaczego \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n=F_0 \cup F_1 \cup ... \cup F_n\cup...}\) ?
I co to jest za suma po \(\displaystyle{ F_n}\) ?

[Jan Kraszewski]

A dlaczego \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n=F_0 \cup F_1 \cup ... \cup F_n\cup...}\) ?

Hmmm... Bo lewa i prawa strona to to samo? To jest pytanie, na które trudno odpowiedzieć, bo prawa strona to nieformalny, intuicyjny opis lewej strony.

I co to jest za suma po \(\displaystyle{ F_n}\) ?

To nie jest suma "po \(\displaystyle{ F_n}\)". To jest suma nieskończonej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{F_n:n\in\NN\}}\).

Zastanawiam się, gdzie jest źródło Twoich problemów ze zrozumieniem sumy uogólnionej. Czy miałbyś problem z wyznaczeniem \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}F_n}\) dla \(\displaystyle{ F_n=\left[ \frac{1}{n},1\right]}\) ?

JK

[kalwi]

może koledze potrzebne jest trochę bardziej życiowy przykład. Powiedzmy, że Twoja rodzina składa się z 10 osób, oznaczmy je kolejno \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_{10}}\)
Czyli możesz napisać, że rodzina to zbiór osób \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_{10}}\). Mało wygodnie, prawda? Właśnie po to się stosuje taki zapis:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\left\{ 1,2,...,10\right\} }A_n=A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_{10}}\)

Z kolei jeśli byś miał nieskończenie wiele osób w rodzinie, to byś napisał

\(\displaystyle{ \bigcup_{n\in \NN }A_n}\)

Czyli \(\displaystyle{ n}\) po kolei by przyjmowało każdą wartość kolejnej liczby naturalnej od \(\displaystyle{ 0}\) zaczynając, a na ostatniej liczbie naturalnej (która nie istnieje, więc chodzi tu o nieskończoność) kończąc.

[PAK]

Jan Kraszewski,
Chyba nie ,wg mnie \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}\left[ \frac{1}{n},1\right]=\left(0,1\right]}\)
Dowód formalny chyba coś podobne do Tw 1: https://www.matematyka.pl/366760.htm

kalwi,
Tam akurat wiedziałem o co chodzi ,ale coś mi się miesza z indeksami.
Wiem że np:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{10}A_n}\) to jest to samo co \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\left\{ 1,2,...,10\right\} }A_n}\)
Zastanawiam się natomiast czy \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\)

[Jan Kraszewski]

Zastanawiam się natomiast czy \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\)

Raczej \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}A_n=\bigcup^{\infty}_{n=\red{0}} A_n}\), ale poza tym - tak.

JK

[PAK]

Ok ,czyli traktujemy tę sumę jak nieskończony zbiór ciągów ,o coraz większej złożoności.Ale cały czas mam problem z tą indukcją.

\(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}\begin{cases}F_0=\{p,q\}\\ F_n=\{\varphi\land\psi:\varphi,\psi\in\bigcup_{k<n}F_k\}\cup \{\varphi\lor\psi:\varphi,\psi\in\bigcup_{k<n}F_k\}\mbox{ dla }n\ge 1\end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ n_0=0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup_{0}F_0=\{p,q\}}\)
Sprawdzamy że dla \(\displaystyle{ p=q=0}\) nie działa.

Założenie dla \(\displaystyle{ n \ge n_0}\)
\(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}\begin{cases}F_0=\{p,q\}\\ F_n=\{\varphi\land\psi:\varphi,\psi\in\bigcup_{k<n}F_k\}\cup \{\varphi\lor\psi:\varphi,\psi\in\bigcup_{k<n}F_k\}\mbox{ dla }n\ge 1\end{cases}}\)

Teza dla \(\displaystyle{ n:=n+1}\)
No i jakby wyglądała teza ? Po prostu przeindeksowywujemy ? I jak wykorzystać założenie ?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ F=\bigcup_{n\in\NN}\begin{cases}F_0=\{p,q\}\\ F_n=\{\varphi\land\psi:\varphi,\psi\in\bigcup_{k<n}F_k\}\cup \{\varphi\lor\psi:\varphi,\psi\in\bigcup_{k<n}F_k\}\mbox{ dla }n\ge 1\end{cases}}\)

Nie, nie, nie. Co to za zapis?!

Indukcję zawsze zaczynasz od formalnego sformułowania tezy, którą chcesz indukcyjnie dowodzić. Jak tego nie zrobisz, to wychodzą takie koszmarki.

W Twoim wypadku teza wygląda tak:

\(\displaystyle{ (\forall n\in\NN)(\forall w)(w(p)=w(q)=0 \Rightarrow (\forall\varphi\in F_n)w(\varphi)=0)),}\)

gdzie \(\displaystyle{ w}\) oznacza wartościowanie.

JK