IX (9) OMG - I etap.

[Cams]

Dzięki, wszystko rozumiem. W tym wypadku wychodzi mi 12,5 punkta. Chyba to nie jest aż tak źle?

[goofy1999]

Chodzę do II klasy gimnazjum. Z waszych wypowiedzi wynika z tego że mam około 8,5 punktów / 15.
Jest to mój debiut w tym konkursie. Czy według was to dobry wynik?

[Beren]

Do wszystkich pytających się o to czy mają dobry wynik - z poprzednich lat wynika, że przy średnio napisanym teście (8-9 pkt) oraz zrobieniu poprawnie 3-4 zadań korespondencyjnych powinno się przejść do II etapu. Więc to tylko od was zależy teraz czy się zmobilizujecie żeby jak najwięcej otwartych zadań zrobić

[goofy1999]

dzisiaj się dowiedziałem że mam 1 miejsce w szkole :O
a miałem 8 pkt / 15

[Kaf]

Sukces! Mam 15 punktów i pierwsze miejsce w szkole .

Gratulacje goofy1999.

[goofy1999]

To ja tobie gratuluję, w porównaniu do twojego wyniku jestem leszcz.
W ogóle się nie przygotowywałem

[Kaf]

E tam, kilka punktów mniej ode mnie masz i tyle . Ja się dosyć solidnie w wakacje trenowałem, jednak nie pod konkurs, tylko po to, by polepszyć swoje umiejętności matematyczne.

Rozwiązania zadań można publikować już 22 października, czy się jeszcze wstrzymać?

[Ponewor]

Można będzie o świcie 22 X.

[gus]

Już raczej nastał świt.

Oto moje rozwiązania:

\(\displaystyle{ 1.}\)

Ukryta treść:    

no comments

\(\displaystyle{ 2.}\)

Ukryta treść:    

Jeśli są to kolejne liczby całkowite, to:
\(\displaystyle{ a-b=b-c+1=c-d+2=d-a+3}\)
lub
\(\displaystyle{ a-b=b-c-1=c-d-2=d-a-3}\)
W pierwszym przyadku \(\displaystyle{ 4(a-b)=(a-b)+(b-c+1)+(c-d+2)+(d-a+3)}\)
Po zredukowaniu wyrazów podobnych i skróceniu wychodzi:
\(\displaystyle{ a-b=1,5}\)
Co jest niemożliwe.

\(\displaystyle{ 3.}\)

Ukryta treść:    

Na środku boku \(\displaystyle{ FE}\) oznaczamy punkt \(\displaystyle{ S}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ EFC}\). Trójkąt \(\displaystyle{ MFS}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ FAE}\), czyli kąt \(\displaystyle{ \angle MSE}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120}\) stopni. Kąt \(\displaystyle{ \angle BCM}\) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ \angle MSE}\), więc ma miarę \(\displaystyle{ \angle 60}\) stopni. Już dalej nie chce mi się pisać, trzeba udowodnić, że jest to trójkąt równoramienny.

\(\displaystyle{ 4.}\)

Ukryta treść:    

Trzeba było dodać stronami i zastosować wzory skróconego mnożenia.

\(\displaystyle{ 5.}\)

Ukryta treść:    

no comments, za łatwe

\(\displaystyle{ 6.}\)

Ukryta treść:    

Weźmy np. sześcian ABCDEFGH. Jego cztery przekątne, czyli \(\displaystyle{ AF}\), \(\displaystyle{ EB}\), \(\displaystyle{ CH}\), \(\displaystyle{ DG}\) są średnicami sfery opartej na sześcianie. Czyli da się przeprowadzić cztery okręgi, z których każdy przechodzi przez jedną przekątną i punkt P. Punkt P jest punktem opartym na średnicy, czyli niezależnie od jego położenia (z pitagorasa) suma kwadratów odległości od wierzchołków sześcianu wynosi \(\displaystyle{ 4(2R) ^{2}=16R ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) - promień sfery

\(\displaystyle{ 7.}\)

Ukryta treść:    

Tutaj nie chce mi się rozpisywać. Napiszę jedynie, że podzieliłem sześcian na kwadraty \(\displaystyle{ 3}\) x \(\displaystyle{ 3}\) i dalej udowadniałem, że niezależnie od położenia prostokątów zawsze będzie można je przegrupować tak, by w każdym kwadracie \(\displaystyle{ 3}\) x \(\displaystyle{ 3}\) znalazły się \(\displaystyle{ 3}\) poziome albo \(\displaystyle{ 3}\) pionowe.

[Kaf]

Większość zadań zrobiłe podobnie jak gus, ale w 3. i 7. skorzystałem z tego:

3:    

Na czworokącie \(\displaystyle{ ABEM}\) można opisać okrąg

7:    

Kolorujemy 1. kolumnę na zielono, 2. na niebiesko, 3. na pomarańczowo, 4. znów na zielono...

[Beren]

Jako, że nikt ładnie nie opisał 7 zadania to ja pokaże swój tok rozumowania. Co do reszty zadań to wszystko zostało już powiedziane - nie były szczególnie skomplikowane.

7.

Ukryta treść:    

W pierwszym wierszu kwadratu 2013x2013 wpisujemy w jednostkowych kwadratach 1x1 cyfry "1", w drugim cyfry "0", w trzecim cyfry "0", a w czwartym znów cyfry "1" itd. Powtarzamy tę czynność do zapełnienia dużego kwadratu. Otrzymamy \(\displaystyle{ 2013:3=671}\) linii wypełnionych cyframi 1. Zatem suma liczb wpisanych do kwadratu wynosi: \(\displaystyle{ 671*2013}\)

Popatrzmy teraz na prostokąty 3x1. Taki prostokąt ułożony pionowo zawsze będzie zakrywał sumę cyfr 1. Natomiast poziomo może zakrywać sumę cyfr 3 lub 0.

Wprowadźmy oznaczenia:

v- ilość prostokątów 3x1 pionowych
h - ilość prostokątów 3x1 poziomych (h1 - w pierwszej linii, h2 - w drugiej lub h3 - trzeciej linii )

Zatem:

\(\displaystyle{ v*1+ h_{1}*3+ h_{2}*0+h_{3}*0=671*2013}\)

\(\displaystyle{ v=671*2013-3h_{1}}\)

\(\displaystyle{ v=3(671*671-h_{1})}\)

Czyli liczba prostokątów 3x1 ułożonych pionowo jest podzielna przez 3. Analogicznie możemy udowodnić, że liczba prostokątów 3x1 ułożonych poziomo jest podzielna przez 3 (numerując nie wiersze a kolejne kolumny w kwadracie 2013x2013 i przeprowadzając to samo rozumowanie).

Zatem zarówno liczba prostokątów 3x1 ułożonych pionowo jak i liczba prostokątów 3x1 ułożonych poziomo jest podzielna przez 3, co oznacza, że ich różnica nie może wynosić 1.

Polecam także popatrzeć na rozwiązanie podobnego zadania, które pojawiło się na Obozie OMG poniżej link (zadanie jest na stronie 12).
... oszura.pdf

[Ponewor]

Wybacz, ale Twoja redakcja jest co najmniej słaba. Ja tą samą ideę zapisałbym tak

Ukryta treść:    

Załóżmy nie wprost, że taki podział istnieje. Liczbę pionowych prostokątów oznaczmy przez \(\displaystyle{ k}\). Z naszego kwadratu robimy szachownicę \(\displaystyle{ 2013 \times 2013}\). Zamalowujemy co trzeci wiersz tabeli począwszy od pierwszego. Zamalowaliśmy łącznie \(\displaystyle{ \frac{2013}{3} \cdot 2013}\) pól. Zauważmy, że pionowe prostokąty mają dokładnie jedno pole zamalowane, zaś poziome \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 0}\). Liczbę zamalowanych poziomych prostokątów oznaczmy przez \(\displaystyle{ l}\). Zatem z drugiej strony liczba zamalowanych pól to \(\displaystyle{ k+3l}\), a po przyrównaniu do \(\displaystyle{ \frac{2013}{3} \cdot 2013}\) mamy \(\displaystyle{ 3 \mid k}\). Analogicznie dowodzimy, że liczba poziomych prostokątów jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a to daje tezę.

[gus]

Są już szkice rozwiązań zadań z części korespondencyjnej.

[Kaf]

Jak obstawiacie swoje szanse na 2 etap?

[gus]

\(\displaystyle{ 1 - \left( \frac{1}{\pi} \right) ^{5 \cdot 10 ^{10000000} } \cdot 100 \%}\) . Czyli bardzo duże.