[teoria obwodow] zrodla napieciowe sterowane pradem

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ I_0 + i_2 = i_1}\)

co do metody węzłowej i sposobu zapisu, znam ten schemat. Używa sięgo do wpisywania w macierze. Jednakże wprowadzili mi to na studiach bez zupełnie żadnych objaśnień, ani skąd to się wzięło, dlatego wole pisać w swój sposób. Sądzę, że przy pewnym obyciu przejde sam na macierze przy wiekszych obwodach.


mój sposób wygląda tak;
- wyznaczam sobie węzeł
- powiedzmy, że prądy wpływające są ze znakiem -, a wypływające ze znakiem +
- czyli napięci strzałkuję w stronę węzła, tzn zawsze będzie \(\displaystyle{ napięcie_węzła - coś}\)

A czy używam G czy \(\displaystyle{ \frac{1}{R}}\) to chyba jeden pies, bo nie widzę nawet specjalnych róźnic w łatwości zapisu

[alek160]

Propozycja dla kolegi 'Ser Cubus'
Po uzyskaniu wielu wskazówek, w ramach ćwiczenia proszę rozwiązać zadanie z jedną drobną zmianą. Zamiast źródła sterowanego prądem \(\displaystyle{ \left( U _{ \alpha }= \alpha I \right)}\) proszę wstawić źródło sterowane napięciem \(\displaystyle{ \left( U _{ \alpha } = \alpha U\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ (U)}\) jest to napięcie na rezystorze \(\displaystyle{ \left( R _{1}=850 \Omega \right)}\). Zwrot - bieguny źródła pozostają takie same. Współczynnik \(\displaystyle{ \alpha =4}\).
Pozdrawiam

[Ser Cubus]

przepraszam, że tak długo. Miałem trochę spraw na głowie

Moje wyniki:
\(\displaystyle{ U_1 = \frac{I_0R_2}{\alpha + 1 + \frac{R_2}{R_1} } = 0.51 \ [V] \\
U_2 = U_{TH} = 3U_1 = 1.53 \ [V] \\
I_N = i_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{2.04}{750} = 0.00272 \ [A]\\
R_TH = 562.5 \ [\Omega]}\)

[alek160]

Niech ten przykład będzie dla Ciebie przestrogą przed radosnym traktowaniem źródeł sterowanych i zastępowaniu ich rezystorami.
Niżej przedstawię Ci obliczenia i komentarze. Dodam, że obwód ten zweryfikowałem za pomocą programu symulacyjnego PSIM.
Napięcie Thevenina obliczamy dowolną metodą. W zadaniu najlepiej jest zastosować metodę Coltriego (potencjałów węzłowych). Przypuszczam, że taką właśnie metodę zastosowałeś.
1. Równanie Coltriego dla węzła górnego rezystora R1. Jako potencjał odniesienia przyjąłem punkt dolny rezystora R1.
\(\displaystyle{ U _{1}\left[ \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1}{R _{2} } \right] =I _{0}- \frac{ \alpha U _{1} }{R _{2} }}\)
Po przekształceniu otrzymujemy.
\(\displaystyle{ U _{1}= \frac{I _{0} }{ \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1+ \alpha }{R _{2} } }=0.51 V}\)

2. Prąd w rezystorze R1
\(\displaystyle{ I _{1}= \frac{U _{1} }{R _{1} }=0.6mA}\)

3. Prąd w rezystorze R2
\(\displaystyle{ I _{2}= \frac{U(1+ \alpha )}{R _{2} }=3.4mA}\)

4. Napięcie Źródła Thevenina
\(\displaystyle{ U _{T}=I _{2}R _{2}=2.55V}\)

5. Rezystancja Thevenina
Moja rada jest następująca.
- Jeśli w obwodzie występują idealne źródła napięcia i prądu należy stosować metodę klasyczną, tzn źródła napięcia zwieramy, a źródła prądu rozwieramy. Następnie (stosując dowolne metody przekształcenia obwodu, składającego się w tym przypadku z samych rezystorów) wyznaczamy rezystancję (impedancję) zastępczą 'widzianą' od strony umownych zacisków 'AB'.
- Jeśli w obwodzie występują źródła sterowane (liniowo zależne), najlepiej zastosować metodą pośrednią wyznaczenia rezystancji \(\displaystyle{ (R _{T} )}\). Zwieramy zaciski 'AB' i dowolną metodą wyznaczamy prąd zwarcia \(\displaystyle{ (I _{zw} )}\). Następnie obliczamy rezystancję Thevenina ze wzoru.
\(\displaystyle{ R _{T}= \frac{U _{T} }{I _{zw} }= \frac{2.55}{4mA}=637.5 \Omega}\)

Bardzo podobnie postępujemy gdy obwód jest typu 'black box'.
W takim przypadku stosujemy metodę pomiarową
a) Mierzymy napięcie obwodu rozwartego, na umownych zaciskach 'AB'
b) Nie możemy zastosować zwarcia zacisków AB, ponieważ nie znamy mocy zwarcia badanego obwodu.
c) Stosujemy pomocnicze źródło prądowe i przyłączamy je do rozwartych zacisków 'AB', następnie mierzymy na tych zaciskach napięcie \(\displaystyle{ (Ux)}\)
d) obliczamy rezystancję Thevenina.
\(\displaystyle{ R _{T} = \frac{U _{x}-U _{T} }{I _{const} }}\), gdzie \(\displaystyle{ I _{const}}\) - prąd źródła pomocniczego.
Pozdrawiam

[Ser Cubus]

1. Równanie Coltriego dla węzła górnego rezystora R1. Jako potencjał odniesienia przyjąłem punkt dolny rezystora R1.
\(\displaystyle{ U _{1}\left[ \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1}{R _{2} } \right] =I _{0}- \frac{ \alpha U _{1} }{R _{2} }}\)

Przy takim samym oznaczeniu węzłów wychodzi mi inne równanie, możesz wskazać mi błąd?

\(\displaystyle{ \frac{U_1}{R_1} + \frac{\alpha U_1}{R_2} - I_0 = 0}\)

pierwszy wyraz tego równania oznacza prąd płynący przez rezystor \(\displaystyle{ R_1}\) (odpływający)
drugi wyraz oznacza prąd płynący przez rezystor \(\displaystyle{ R_2}\) (odpływający)
trzeci wyraz to prąd ze źródła prądowego (przypływający)

nie wiem skąd u Ciebie dodatkowy wyraz

[alek160]

nie wiem skąd u Ciebie dodatkowy wyraz

Jeśli są wątpliwości należy zastosować równania Kirchhoffa. One nigdy nie zawiodą.
Oto równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} I _{1}+I _{2}=I _{0} \\I _{1}R _{1}+ \alpha U _{1}-I _{2}R _{2}=0 \\I _{1}R _{1}=U _{1} \end{cases}}\)
po przekształceniach otrzymujemy,
\(\displaystyle{ U _{1}= \frac{I _{0} }{ \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1+ \alpha }{R _{2} } }}\)

Wracam do równań Coltriego
Cytuję z literatury akademickiej fragment definicji.
' ... po lewej stronie równania Coltriego, potencjał danego węzła monożymy przez sumę admitancji dochodzących do tego węzła i pomniejszamy o potencjały węzłów sąsiednich pomnożone przez odpowiednie admitancje wzajemne. '

W Twoim zadaniu jest tylko jeden węzeł, nazwałem go \(\displaystyle{ U _{1}}\)
Do tego węzła zbiegają się trzy gałęzie, z czego dwie gałęzie zawierają rezystancje (admitancje wg Coltriego).
1. Gałąź ze źródłem \(\displaystyle{ I _{0}}\)
2. Gałąź z rezystorem \(\displaystyle{ R _{1}}\)
3. Gałąź złożona z dwóch elementów połączonych szeregowo, \(\displaystyle{ ( \alpha U _{1} \ oraz \ R _{2} )}\)
Piszemy równanie Coltriego zgodnie z definicją.

\(\displaystyle{ U _{1}\left[ \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1}{R _{2} } \right] =I _{0}- \frac{ \alpha U _{1} }{R _{2} }}\)

Dodatkowa uwaga:
Gdyby obwód elektryczny był bardziej złożony i zawierał wiele węzłów oraz źródła sterowane nie można by stosować metody Coltriego. W takim przypadku pozostają niezawodne prawa 'Kilofa' - sorry Kirchhoffa oczywiście.
Pozdrawiam

[Ser Cubus]

wyprowadziłem sobie to równanie i masz rację, tylko nie rozumiem dlaczego moja metoda nie zadziałała
\(\displaystyle{ I = \frac{U}{R} = \frac{v_1 - v_2}{R}\\}\)
wobec tego zapisałem sobie prądy jako różnice potencjałów węzłowych, co tutaj jest nie tak?

\(\displaystyle{ \frac{U_1}{R_1} + \frac{\alpha U_1}{R_2} - I_0 = 0}\)-- 28 sie 2013, o 12:00 --czy zna ktoś może jakiś zbiór zadań dostępny w pdf z teorii obwodów?

[alek160]

Podjąłeś odważną próbę obalenia praw Kirchhoffa. Niestety nieudaną.
W dniu 16.08.2013r napisałem równania Kirchhoffa.

\(\displaystyle{ \begin{cases} I _{1}+I _{2}=I _{0} \\I _{1}R _{1}+ \alpha U _{1}-I _{2}R _{2}=0 \\I _{1}R _{1}=U _{1} \end{cases}}\)

Pierwsze równanie jest wg prawa Kirchhoffa_1
Porównajmy zatem to równanie z tym co Ty napisałeś.
\(\displaystyle{ \frac{U _{1} }{R _{1} }+ \frac{ \alpha U _{1} }{R _{2} }=I _{0}}\)
Wyszło co następuje:
\(\displaystyle{ \frac{U _{1} }{R _{1} }=I _{1} \rightarrow \ true}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \alpha U _{1} }{R _{2} }=I _{2} \rightarrow \ false}\)

Objaśnienie
Jeśli w zadaniu w jedynym węźle występuje napięcie \(\displaystyle{ U _{1}}\) to oznacza, że napięcie to występuje na zaciskach źródła prądowego \(\displaystyle{ I _{0}}\), na zaciskach rezystora \(\displaystyle{ R _{1}}\) oraz na gałęzi szeregowej dwóch elementów \(\displaystyle{ ( \alpha U _{1} \ , \ R _{2} )}\).
Jeśli napięcie \(\displaystyle{ U _{1}}\) występuje na gałęzi 'szeregowej' to stosując prawo Kirchhoffa_2 otrzymujemy równanie równowagi napięciowej dla tej gałęzi.

\(\displaystyle{ U _{1}+ \alpha U _{1}-I _{2}R _{2} =0}\)
\(\displaystyle{ I _{2}}\) - prąd płynący w gałęzi 'szeregowej'
Po przekształceniu otrzymujemy wyrażenie na prąd w tej gałęzi.
\(\displaystyle{ I _{2}= \frac{U _{1}(1+ \alpha ) }{R _{2} }}\)

Ostatecznie otrzymujemy prawdziwe równanie dla prądów.
\(\displaystyle{ \frac{U _{1} }{R _{1} }+ \frac{U _{1}(1+ \alpha ) }{R _{2} }=I _{0}}\)

Po przekształceniach równań Kirchhoffa (przedstawionych wyżej) otrzymujemy również prądy jako funkcje wielkości podanych w zadaniu.
\(\displaystyle{ I _{1}= \frac{I _{0}R _{2} }{R _{2}+R _{1}(1+ \alpha ) }=0.6mA}\)
\(\displaystyle{ I _{2}= \frac{I _{0}R _{1}(1+ \alpha ) }{R _{2}+R _{1}(1+ \alpha ) }=3.4mA}\)

Wniosek
Prawa Gustava Roberta Kirchhoffa mogą być nadal stosowane przez fizyków, a w szczególności przez elektryków na całym świecie, również w Polsce i w Brazylii.
Pozdrawiam z Brazylii

[Ser Cubus]

To może teraz taki obwód:


\(\displaystyle{ V_0 = 5\\
A = 2\\
R_1 = 1\\
R_2 = 3\\
R_3 = 5}\)

próbowałem, ale zawsze z mizernym skutkiem...

[alek160]

Proszę przedstawić swoje rozwiązanie. Chciałbym zobaczyć jak pracujesz.

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ V_0 -I(R_1 + R_2 + R_3) - Au = 0\\
\frac{V_0-U}{R_1}=I\\
V_0 -\frac{V_0-U}{R_1}(R_1 + R_2 + R_3) - Au = 0\\
u = \frac{40}{7}\\
I = \frac{-5}{7}\\
V_1 = V_TH = \frac{55}{7}}\)

prad I jest zastrzałkowany zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Muszę wyliczyć \(\displaystyle{ I_N}\), ale brakuje mi rezystancji. Wg. Twoich wskazówek mam podłączyć dodatkowe źródło prądowe i zbadać napięcie, stad ją wyciągnąc.

Wydaje mi się, że ta droga, którą obrałem jest strasznie długa. Da się pewnie odrazu zewrzeć zaciski i zastosować metodę prądów oczkowych, odraz ubędzie \(\displaystyle{ I_N}\), ale nie czuję sie z tym jeszcze zbyt dobrze.

[alek160]

A. Nieźle Ci poszło z obliczeniem napięcia Thevenina - \(\displaystyle{ U _{T}}\)
Napięcie to można wyznaczyć na kilka sposobów.

1. Równania Kirchhoffa - właśnie zastosowałeś tą metodę.
Z równań Kirchhoffa wyznaczamy prąd \(\displaystyle{ (I)}\) oraz napięcie w węźle \(\displaystyle{ (U)}\). Następnie wyznaczamy napięcie Thevenina.
\(\displaystyle{ U _{T}=V _{0}-I(R _{1} +R _{2} )}\)

2. Równanie Coltriego dla węzła \(\displaystyle{ (U)}\)
\(\displaystyle{ U\left[ \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1}{R _{2} +R _{3} } \right]= \frac{V _{0} }{R _{1} }+ \frac{AU}{R _{3} }}\)
- wyznaczamy napięcie w węźle \(\displaystyle{ (U)}\)
- wyznaczamy prąd \(\displaystyle{ (I)}\) ze wzoru
\(\displaystyle{ I= \frac{V _{0} -U}{R _{1} }}\)
Napięcie Thevenina wyznaczamy wg wzoru podanego w pkt 1.

3. Układ równań Coltriego dla dwóch węzłów \(\displaystyle{ U _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ U _{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ U _{1}=U}\) oraz \(\displaystyle{ U _{2}=U _{T}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} U _{1}\left( \frac{1}{R _{1} }+ \frac{1}{R _{2} } \right)-U _{2} ( \frac{1}{R _{2}} )= \frac{V _{0} }{R _{1} } \\ -U _{1}( \frac{1}{R _{2} } )+U _{2}\left( \frac{1}{R _{2} } + \frac{1}{R _{3} } \right)= \frac{AU _{1} }{R _{3} } \end{cases}}\)
- z układu równań wyznaczamy napięcia, \(\displaystyle{ U=U _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ U _{T}=U _{2}}\)

B. Nie poradziłeś sobie z wyznaczeniem \(\displaystyle{ R _{T}}\).
Ponieważ w układzie występuje źródło zależne najlepiej zastosować metodę zwarcia zacisków \(\displaystyle{ (A,B)}\).
Niepotrzebnie przywołałeś metodę wyznaczenia rezystancji Thevenina przy pomocy podłączenia do zacisków \(\displaystyle{ (A,B)}\) pomocniczego źródła napięcia lub źródła prądu. Ja wyraźnie napisałem, że takie źródło pomocnicze stosujemy tylko wtedy gdy mamy do czynienia z obwodem typu 'black box'.
W Twoim zadaniu jest jawny obwód, stosujemy więc metodę zwarcia zacisków \(\displaystyle{ (A,B)}\) i wyznaczamy prąd zwarcia. Rezystancję Thevenina obliczamy ze wzoru.
\(\displaystyle{ R _{T}= \frac{U _{T} }{I _{zw} }}\)
Dodam, że ten prąd zwarcia jest jednocześnie źródłem prądowym Nortona.
Obwód zastępczy Nortona zawiera:
\(\displaystyle{ \begin{cases} I _{N}=I _{zw} \\ R _{N}= R _{T} \end{cases}}\)

Teraz Twój ruch.
Oblicz prąd zwarcia w pętli powstałej po zwarciu zacisków \(\displaystyle{ (A,B)}\)
Podpowiedź. Prąd zwarcia \(\displaystyle{ (I _{zw})}\) jest sumą dwóch składowych prądów: \(\displaystyle{ I _{1}}\) od źródła \(\displaystyle{ V _{0}}\) oraz składowej prądu \(\displaystyle{ I _{2}}\) od źródła \(\displaystyle{ AU}\)
\(\displaystyle{ I _{zw}=I _{1}+I _{2}}\)

[Ser Cubus]

wczy mogę obliczyć \(\displaystyle{ I_1 + I_2}\) przy pomocy wyliczonych przeze mnie napięć?

edit: mam jeszcze jedno pytanie, odnośnie zapisu macierzowego metody węzłowej


węzeł 'c' jest uziemieniem
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} (G_1 + G_3) & (-G_3-g) \\
(-G_3 ) & (G_2 + G_3+g) \end{array}\right]
\left[\begin{array}{c} V_A \\ V_B \end{array}\right] =
\left[\begin{array}{c} -J_1 \\ J_1 \end{array}\right]}\)

czy taki zapis jest poprawny?

[alek160]

Nie można wyliczyć prądu zwarcia przy pomocy obliczonych wczesniej napięć.
Proszę zwrócić uwagę, po wykonaniu zwarcia punktów \(\displaystyle{ (A,B)}\) masz całkiem nowy schemat elektryczny. Narysuj sobie ten schemat.

Odnośnie drugiego pytania. Jest błąd w macierzy 'pobudzeń'. Powinno być:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} J \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -J _{1} \\ J _{2} \end{bmatrix}}\)
gdzie \(\displaystyle{ J _{2}}\) na Twoim schemacie jest oznaczone jako \(\displaystyle{ J _{z}}\)
Macierz admitancji jest OK!

Nie będę kontynuował objaśnień odnośnie drugiego zadania, dopóki nie napiszesz wzoru na prąd zwarcia w poprzednim zadaniu.
Pozdrawiam.

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \frac{U-V_0}{R1} = \frac{U}{R_2}\\
U = -\frac{15}{4} \\
I_N = \frac{-25}{6}}\)

I_N strzałkuję z góry do dołu


i kolejne pytanie:
czy mogę używać wejścia idealnego wzmacniacza (tzn. port + oraz -) jako 'rezystor' o zerowym napięciu, aby zamknąć pętlę dla NPK?