Granica ciągu

[luki1248]

Mam problem jak policzyć te dwa przykłady:

a) \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } n(ln(n+1)-ln n)}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }(1+ \sqrt{n^2+1}-n )^n}\)

[Premislav]

a) skorzystaj z następującej własności logarytmu: \(\displaystyle{ \ln a -\ln b=\ln \frac{a}{b}}\).
Następnie zamień mnożenie przez \(\displaystyle{ n}\) na dzielenie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i powinno pójść z de l'Hospitala.
b) wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów powinien pomóc.

[luki1248]

Nic mi to nie pomogło nie mogę dojśc do rozwiązania:(

[bakala12]

a) skorzystaj z następującej własności logarytmu: \(\displaystyle{ \ln a -\ln b=\ln \frac{a}{b}}\).
Następnie zamień mnożenie przez n na dzielenie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i powinno pójść z de l'Hospitala.

A tam, po co aż tak to komplikować:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }n\left( \ln \left( n+1\right) -\ln n \right) = \lim_{n \to \infty } n\ln\left( \frac{n+1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty }\ln\left( \frac{n+1}{n} \right) ^{n}=...}\)
I jako że logarytm jest funkcją ciągłą możesz wejść z granicą pod logarytm.

[yorgin]

a) skorzystaj z następującej własności logarytmu: \(\displaystyle{ \ln a -\ln b=\ln \frac{a}{b}}\).
Następnie zamień mnożenie przez \(\displaystyle{ n}\) na dzielenie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i powinno pójść z de l'Hospitala.

De l'Hospital do ciągów? Ojoj ja bym był trochę bardziej ostrożny w szczególności, że mamy do czynienia z ciągami. W przykładzie a) akurat należy skorzystać z granicy z liczbą \(\displaystyle{ e}\).

[luki1248]

Zapomniałem, że tego \(\displaystyle{ n}\) przed \(\displaystyle{ \ln}\) można wrzucić do potęgi \(\displaystyle{ \ln}\). A \(\displaystyle{ \ln \left( \frac{n+1}{n} \right) ^n}\)
to co jest w nawiasie moge tam skorzystac z wzoru na liczbe \(\displaystyle{ e}\), i wtedy wyjdzie \(\displaystyle{ \ln e=1}\)

-- 5 sie 2013, o 17:35 --

A w przykładzie b) też mam skorzystać ze wzoru na granice z liczbą e ??-- 5 sie 2013, o 18:20 --Mam taki problem, nie wiem jak się rozwiązuje granice ciągów tego typu \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1} = \sqrt{5+x_{n}},x_{1}=0}\)
(graficznie uzasadnij zbieżność lub rozbierzność), mógłby mi ktoś jakoś to prosto wytłumaczyć??