Matematyka.pl

ah faktycznie, ślepota jestem a co w przypadku gdy skrócić się nie będzie dało? (o ile w ogóle może być taki przypadek)

No akurat w tym przykładzie, po zastosowaniu wzoru na zmianę podstawy logarytmu i przedstawieniu liczb logarytmowanych w postaci potęg dwójki tak wyszło, bo do tego dążyliśmy.
Masz jakiś konkretny problem gdzieś indziej ze skracaniem? Tego nie da się tak "uogólnić" jakbyś chciał.

No nie mam, ale chodzi mi tylko o to czy gdyby był podobny przykład i nie dało się skrócić to można tak zostawić czy dalej coś trzeba liczyć.

Raczej każdy podobny przykład będzie wymagał zastosowaniu wzoru na zmianę podstawy logarytmu. A to prowadzi do tego, że otrzymamy logarytm o tej samej podstawie, który będzie można skrócić, jeśli liczba logarytmowana będzie taka sama. Zatem jeśli pod hasłem "podobny przykład" rozumiemy taki, przykład, w którym liczby logarytmowane będą dały się przedstawić w postaci potęgi tej samej liczby, to zawsze będzie dało się skrócić.

Natomiast jeśli chodzi Ci po prostu o jakiś tam inny przykład, gdzie też pojawi się logarytm, ale liczby logarytmowane nie będą dały się przedstawić w postaci potęgi tej samej liczby, to owszem, wtedy musimy zostawić to w takiej postaci.

np. \(\displaystyle{ \frac{5\log 3}{3 \log 2}}\)
W podstawie logarytmu mamy \(\displaystyle{ 10}\), liczby logarytmowane to \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Nie da rady przedstawić tutaj \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 2}\) w postaci potęg tej samej liczby. Nie da rady skrócić logarytmów, trzeba pozostawić w takiej postaci.