Dzisiaj był etap wojewódzki, podaję zadania i swoje rozwiązania:
Zadanie 1.
Udowodnij, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) wyrażenie \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) jest podzielne przez 30.
Zadanie 2.
Po powiększeniu każdego boku prostokąta o \(\displaystyle{ 10cm}\) pole zwiększyło sie o \(\displaystyle{ 600 cm ^{2}}\). O ile zmniejszy się pole, kiedy każdy z boków pomniejszymy o \(\displaystyle{ 5cm}\)?
Zadanie 3.
W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) prowadzimy wysokości z wierzchołków \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\). Spodki wysokości oznaczamy jako \(\displaystyle{ H_{a}}\) i \(\displaystyle{ H_{c}}\). Udowodnij, że symetralna odcinka \(\displaystyle{ \left| H_{a} H_{c} \right|}\) przechodzi przez środek boku \(\displaystyle{ \left|AC \right|}\).
Zadanie 4.
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których spełniona jest równość: \(\displaystyle{ 2* 3^{n}-3n=6-n* 3^{n}}\)
Zadanie 5.
W ostrosłupie \(\displaystyle{ ABCD}\) wszystkie krawędzi boczne mają długość \(\displaystyle{ a}\). Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) w podstawie jest prostokątny i ma przyprostokątne długości \(\displaystyle{ a}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązania:
Zadanie 1.
\(\displaystyle{ n^{5}-n = (n-1)n(n+1)( n^{2}+1)}\) Czyli co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta i podzielna przez 3 (3 kolejne liczby całkowite), a po rozpatrzeniu reszt z dzielenia przez 5 wychodzi, że co najmniej jedna z nich jest także podzielna przez 5.
Zadanie 2.
Z równania ułożonego na podstawie treści zadania otrzymujemy, że \(\displaystyle{ P=50a- a^{2}}\), a pole zmniejszonego prostokąta \(\displaystyle{ P_{2}=(50a- a^{2}-225)}\) czyli pole zmniejszyło się o \(\displaystyle{ 225 cm^{2}}\)
Zadanie 3.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P}\) środek boku \(\displaystyle{ AC}\). Będzie on środkiem okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych \(\displaystyle{ AH_{c}C}\) i \(\displaystyle{ AH_{a}C}\) Zatem \(\displaystyle{ PH_{c}=PH_{a}}\) co oznacza, że trójkąt \(\displaystyle{ PH_{c}H_{a}}\) jest równoramienny, a wysokość poprowadzona z wierzchołka P jest także symetralną odcinka \(\displaystyle{ \left| H_{a} H_{c} \right|}\).
Zadanie 4.
Po przekształceniach otrzymujemy \(\displaystyle{ (3^{n}-3)(n+2)=0}\), a ponieważ n jest naturalne to jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ n=1}\)
Zadanie 5.
Stawiamy ostrosłup na ścianie \(\displaystyle{ DAC}\) czyli w podstawie mamy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ DAC}\), a wysokość to a (ścianą boczną jest teraz trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\)). Zatem pole wynosi \(\displaystyle{ P= \frac{ a^{3} \sqrt{3} }{12}}\)