Matematyka.pl

Próbuję sobie to wyobrazić...
To będzie coś w tym stylu:

?

Dokładnie tak

\(\displaystyle{ mc_w\frac{dT}{dt}=\frac{\eta S}{4\pi R^2}P(t)-\frac{dE(T)}{dT}\frac{dT}{dt}}\)

W tym równaniu wyraz: \(\displaystyle{ \frac{dE(T)}{dT}\frac{dT}{dt}}\) oznacza wypromieniowanie energii przez ciało, które wcześniej ją pochłonęło. Zastanawia mnie tylko, dlaczego to ciało ma później wypromieniowywać energię (zakładam, że wszystko dzieje się w próżni)? Co jest powodem?

Nie musi być w próżni. Wszystko co ma niezerową temperaturę promieniuje - my też. Dlatego możemy używać kamer termowizyjnych, itd. Dlaczego ma wypromieniować? Wszystko dąży do stanu o najmniejszej energii. Otóż jak wiadomo elektrony zyskały dzięki pochłonięciu fotonów dodatkową energię i atomy uległy wzbudzeniu. Czas życia w stanie wzbudzonym jest ograniczony, więc elektrony spadają wypromieniowując energię. I tak się dzieje, aż wytracą wszystko. W praktyce jednak cały czas jakieś fale EM na ciało padają. Jeśli pada tyle co ciało promieniuje, to mamy stan równowagi termodynamicznej. W omawianym przypadku oczywiście energii padającej musi być więcej niż wypromieniowanej, żeby ciało mogło się ogrzać.

To już chyba ostatnie pytanie do tego tematu...

Omawialiśmy tutaj światło i energię jaką niesie. Światło jednak kojarzy mi się zawsze ze słynnymi równaniami:
A. Einsteina
\(\displaystyle{ E=mc ^{2}}\)
, czy M. Plancka
\(\displaystyle{ E=hv}\)
Teraz stawiam pytanie... Czy można byłoby jakoś wykorzystać te równania do takiego typu obliczeń, co w tym temacie?

Drugi jest też i Einsteina Pierwszego absolutnie zastosować się nie da. W sumie nie wiem czemu Ci się ze światłem kojarzy Z drugim też ciężko, Słońce nie emituje promieniowania monochromatycznego, tylko cały przekrój długości/częstotliwości fali. Drugi wzór nas informuje jaką energię niesie foton stowarzyszony z falą o częstotliwości \(\displaystyle{ \nu}\), tutaj raczej patrzymy na całość bardziej makroskopowo.

W takim razie wielkie dzięki za pomoc! Bardzo pomocne jest te forum... Jeszcze raz dzięki! Pozdrawiam!

Do usług

Zapytam jeszcze o równanie różniczkowe, które wcześniej wystąpiło...

\(\displaystyle{ mc_w\frac{dT}{dt}=\frac{\eta S}{4\pi R^2}P(t)-\frac{dE(T)}{dT}\frac{dT}{dt}}\)

Jaki to jest typ równania? Można je rozwiązać jakimś chytrym podstawieniem?

Zakładając, że \(\displaystyle{ P(t) = constant = P}\)

ConstanS. A równanie może być niezbyt proste, bo przez obecność funkcji \(\displaystyle{ E \left( T \right)}\) dostaniemy uwikłaną zależność \(\displaystyle{ T \left( t \right)}\). Przepiszmy to w ten sposób:
\(\displaystyle{ mc_w\frac{dT}{dt} \left( 1+\frac{dE \left( T \right) }{dT} \right) =\frac{\eta S}{4\pi R^2} P \left( t \right)}\).
Przyjmijmy uproszczony model (niekoniecznie poprawny): energia emitowana jest proporcjonalna do \(\displaystyle{ T^4}\), czyli \(\displaystyle{ E \left( T \right) =aT^4}\), oraz z Twojego założenia \(\displaystyle{ P \left( t \right) =const=P}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ mc_w\frac{dT}{dt} \left( 1+4aT^3 \right) =\frac{\eta S}{4\pi R^2} P}\).
Rozwiązując otrzymujemy zależność:
\(\displaystyle{ mc_w\int_{T_0}^T \left( 1+4aT'^3 \right) dT'=\frac{\eta SP}{4\pi R^2}\int_{t_0}^tdt'}\),
czyli:
\(\displaystyle{ mc_w left[ left( T-T_0
ight) +a left( T^3-T_0^3
ight) =frac{eta SP}{4pi R^2} left( t-t_0
ight)}\).
Widać, że nie daje to nam zależności wprost. Łatwiej nam wyznaczyć zależność "czasu od temperatury"

Przyjmijmy uproszczony model (niekoniecznie poprawny): energia emitowana jest proporcjonalna do \(\displaystyle{ T ^{4}}\), czyli \(\displaystyle{ E(T)=aT^4}\)

A gdyby nie przyjmować tego modelu, bo skąd się on wziął?

Luźna wariacja na temat ciała doskonale czarnego/szarego. Można zawsze przyjąć, że ciało nie emituje energii Wtedy wyjdzie po prostu \(\displaystyle{ mc_w\Delta T=\frac{\eta SP}{4\pi R^2}\Delta t}\).

A gdyby się uparł i chciał liczyć z tym, że emituje, jednak nie zakładając, że \(\displaystyle{ E(T) = a T ^{4}}\).

No to zawsze pojawi się uwikłana zależność na T. Chyba, że ciało promieniowałoby zawsze stałą ilość energii, czyli E(T) nie zależałoby od T.

W takim razie skąd się wzięła zależność \(\displaystyle{ E(T) = a T ^{4}}\)? Jest jakieś wyprowadzenie tego, czy ułożono to na podstawie doświadczeń?