Matematyka.pl

_el_doopa pisze:nigdy nie bylo tak latwych zadan zebym je robil w 15 min.

moze ty sie wiecej nauczyles a zadania sa ciagle na tym samym poziome?

Fajno by było jakby ktoś wrzucił zadanka. Nie bądzcie sknery - dajcie innym też policzyć

Czesciowo sie zgadzam, 1 i 3 byly bardzo proste. 2 nie zrobilem, po prostu nie mialem pomyslu, heh.

Ziom Ziomisław pisze:Fajno by było jakby ktoś wżucił zadanka. Nie bądzcie sknery - dajcie innym też policzyć

1. P(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnij, że jeśli wielomiany P(x) i P(P(P(x))) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.

2. Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE, w którym BC=CD, DE=EA oraz \(\displaystyle{ \angle BCD=\angle DEA}\). Udowodnij, że z odcinków o dł. AC, CE i EB można zbudować trójkąt. Wyznacz miary jego kątów, znając miarę α kąta ACE i miarę β kąta BEC.

3. Z n� płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku 1 ułożono trójkąt równoboczny o boku n. Każda płytka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: wybieramy płytkę P mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki P. Następnie odwracamy płytkę P na drugą stronę.
Dla każdego n≥2 roztrzygnąć, czy istnieje początkowe ułożenie płytek, pozwalające wykonać nieskończony ciąg ruchów.

Wrzucił przez rz (normalnie się nie czepiam, ale to dziwnie wygląda...)

Dzięki martaa.
Zadania faktycznie dziwnie łatwe, aż nie chce się wierzyć, że z OMu. Czyżby nagle doszli do wniosku, że dotychczas poziom był zbyt wygórowany i postanowili go radykalnie obniżyć. Aż strach myśleć o tegorocznym progu finałowym - cosik mi się wydaje, że będzie ciut wyższy niż zeszłoroczny
Co do 'rzucania' echem ciiii - nikt nic nie słyszał, nikt nic nie słyszał

Jutro powinna być : teoria liczb, nierówność i oczywiście geometria. A co do poziomu to tak naprawde jest on bardzo porównywalny z poprzednimi latami. Każdemu pasuje coś innego. Popatrzcie na LIII lub na LIV tak samo byly banalne. No to jak myslicie, jakie dzialy sie jutro pojawią?

to jaki Waszym zdaniem będzie próg punktowy na finał? ??:

Prawdopodobnie 3-4 na maxa. No ale dzis chyba nikt nie powie, ze 6 bylo calkowicie banalne. Dla mnie hardkor totalny, podobno z jensena mozna, ale jak? :S

Też strzelam w 17-18 ptk.

Próg będzie na pewno wyzszy niż rok temu, ale mało prawdopodobne żeby przekroczył 20 punktów.
Tak marginalnie co dzisiaj dali ?

4.Dla \(\displaystyle{ a,b,c,d\inZ}\), zachodzi \(\displaystyle{ ad=b^2+bc+c^2}\), udowodnij że suma kwadratów a,b,c,d jest liczbą złożoną.

5. Czworokat wypukły ABCD, w którym AB nie jest równe CD, jest wpisany w okrag.
AKDL i CMBN są rombami o bokach dlugości a. Dowieść, że K,L,M,N leża na jednym okręgu.

6. Dla dotanich a,b,c,d:

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{1}{a}=4}\).
Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\leq2\sum_{cyc}a-4}\)

Twarz pisze:Prawdopodobnie 3-4 na maxa. No ale dzis chyba nikt nie powie, ze 6 bylo calkowicie banalne. Dla mnie hardkor totalny, podobno z jensena mozna, ale jak? :S

Ja zrobilem tak:

Zauważamy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[3]{\frac{1+x}{2}}}\) jest wklęsła w sensie Jensena dla x>0 (trzeba policzyc druga pochodna).

Teraz przekształcam tezę w ten sposob, ze z pierwszego pierwiastka wyłączam a, z drugiego b, itp.. i potem dzielę całość przez \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) Dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b+c+d} (a \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{b}{a})^3}{2}}+b \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{c}{b})^3}{2}}+c \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{d}{c})^3}{2}}+d \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{a}{d})^3}{2}})\leqslant 2 - \frac{4}{a+b+c+d}}\)

Na mocy nierownosci Jensena lewa jest mniejsza od \(\displaystyle{ f(\frac{1}{a+b+c+d}(a * (\frac{b}{a})+b * (\frac{c}{b})+c * (\frac{d}{c})+a * (\frac{a}{d})))=f(1)=1}\)

Nierówność \(\displaystyle{ 1 qslant 2 - \frac{4}{a+b+c+d}}\) zachodzi dzięki wstawieniu założenia do nierówności między średnią arytmetyczna, a harmoniczną. I tyle:) Jak się znało ten trik z Jensena to wychodziło mechanicznie w kilkanaście minut. Lemat ze wzorcówki to jakiś żart

ładne.

no to jak wam drodzy forumowicze poszło? ile zadań zrobiliście?

jeśli o mnie chodzi to 3 powinienem mieć dobrze (1,2 i 4). I też mi sie wczoraj wydawało, że chyba coś pomylili, bo to pierwsze zadanie... z resztą dzisiejsze 4 też bardzo łatwe. a co do ostatniego - w Lublinie na rozwiązaniach był autor zadania i stwierdził, że nierówność tą dało się rozwiązać tylko z wykorzystaniem elementarnych nierówności o średnich, ale było to dość skomplikowane... mówił też, że zadanie to było planowane dopiero na finał, ale dali je już teraz. A co do moich odczuć do zadań - 1 i 4 banalne, 2 całkiem szło jak sie znalazło sposób, 3 nie wiedziałem jak ugryźć, ale po zobaczeniu rozwiązań też okazało sie całkiem nietrudne, natomiast 5 i 6 to chyba nie mój poziom...

Licze gdzies na 28. Drugiego nie zrobilem (udowodnilem co prawda, ze mozna zbudowac trojkat, ale nie sadze by za to byly 2 punkty), reszte tak ale zauwazylem u siebie jakies bledy male (powinni po 1 punkcie obciac). Co do nierownosci to tak jak prawie wszyscy co zrobili u nas zrobili mniej wiecej na tej zasadzie co we wzorcowce (tzn. chodzilo o ten sam lemat), jedna osoba zrobila chyba jak wjzz.