O rany, ale wszyscy kombinujecie. Powiedzmy to 1.
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n=6}\). Otrzymujemy \(\displaystyle{ 6^3=216<720=6!}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ}\)
\(\displaystyle{ Z_i:\ n^3<n!}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\ge6}\)
\(\displaystyle{ T_i:\ (n+1)^3<(n+1)!}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ P=(n+1)!=(n+1)\cdot n!\stackrel{Z_i}{>}(n+1)\cdot n^3\stackrel{?}{>}(n+1)^3=L}\)
Teraz wystarczy sprawdzić, czy prawdziwa jest nierówność oznaczona pytajnikiem.
\(\displaystyle{ (n+1)\cdot n^3>(n+1)^3}\)
\(\displaystyle{ n^4+n^3>n^3+3n^2+3n+1}\)
\(\displaystyle{ n^4>3n^2+3n+1}\)
\(\displaystyle{ n^4-3n^2-3n-1>0}\)
\(\displaystyle{ n^4-4n^2+4+n^2-4-3n-1>0}\)
\(\displaystyle{ (n^2-2)^2+n^2-3n-5>0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ (n^2-2)^2>0}\) oraz \(\displaystyle{ n^2-3n-5>0\ {\rm dla}\ n\ge6}\) bo \(\displaystyle{ \Delta=29}\) i większy z pierwiastków tego trójmianu \(\displaystyle{ n_2=\frac{3+\sqrt{29}}{2}<6}\).