Zbadać zbieżność szeregu.

[RSM]

ugabuga333, a jak sobie przyjmiemy n=2 to ta nierówność nie zachodzi.
Musisz udowodnić, że dla każdej liczby większej od jakiejś tam liczby ta nierówność zachodzi.

[ugabuga333]

no wiem właśnie, czyli muszę udowodnić, że dla każdej liczby większej od n = 10000 ta nierówność zachodzi, tylko właśnie nie wiem jak mam to udowodnić, w jaki sposób to zapisać
???

[RSM]

indukcyjnie pewnie wyjdzie.
Albo napisać, że to co po prawej stronie rośnie dużo szybciej, więc nie ma się nad czym rozwodzić (od pewnego poziomu takie uzasadnienie przejdzie).

[ugabuga333]

a mógłby ktoś tu napisać to indukcyjnie dla \(\displaystyle{ n+1}\) bo potrzebuję to na jutro, a próbowałem to robić, ale nie daje rady m.i.n jak rozbić coś takiego jak mam \(\displaystyle{ 2^{ \sqrt{n+1} }}\) .
Jakby ktoś tu mógł rozpisać ten indukcyjny dowód to byłbym bardzo wdzięczny.

[Dasio11]

Powiedzmy, że \(\displaystyle{ n=m^2+r,}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le r < 2m+1}\) (każdą liczbę można zapisać w tej postaci odejmując od niej największy kwadrat liczby naturalnej nie większy od \(\displaystyle{ n}\)). Wtedy

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}} > 2^m}\)

więc wystarczy wykazać, że dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ m}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ 2^m > (m+1)^4,}\)

bo wtedy na pewno

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}} > 2^m > (m+1)^4 > \left( m^2+r \right)^2=n^2.}\)

Nierówność \(\displaystyle{ 2^m>(m+1)^4}\) powinno już być łatwo dowieść indukcyjnie.


Trochę szybszy, choć wymagający nieco większej wiedzy sposób może wyglądać np. tak:

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}} > e^{\frac{1}{2}\sqrt{n}} > \frac{1}{4!} \cdot \left(\frac{1}{2} \sqrt{n} \right)^4= \frac{n^2}{4! \cdot 2^4}}\)

[ugabuga333]

więc wystarczy wykazać, że dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ m}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ 2^m > (m+1)^4,}\)

A mógłbyś jeszcze pokazać jak to rozpisać ?-- 6 gru 2011, o 22:31 --hmm srednio rozumiem to tlumaczenie z tymi nowymi zmiennymi ... a moze jakos bys mi wyjasnil ta druga krotsza metoda co napisales z eulerem, skad sie wzielo to wszystko co napisales ?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ 2>\sqrt{e},}\) więc \(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}} > e^{\frac{1}{2} \sqrt{n}}.}\)

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\) zachodzi wzór

\(\displaystyle{ e^x =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \qquad \qquad (*)}\)

a więc dla \(\displaystyle{ x>0}\) zajdzie nam nierówność

\(\displaystyle{ e^x > \frac{x^4}{4!},}\)

bo wszystkie pozostałe wyrazy szeregu są większe od zera.

Aplikacja tej nierówności dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}\sqrt{n}}\) daje dokładnie

\(\displaystyle{ e^{\frac{1}{2}\sqrt{n}} > \frac{1}{4!} \left( \frac{1}{2} \sqrt{n} \right)^4.}\)


Jeśli nie znasz wzoru \(\displaystyle{ (*),}\) możesz się pobawić tą 'zamianą zmiennych'. Idea dowodu jest taka, że ładnie pierwiastkują się tylko co niektóre \(\displaystyle{ n.}\) Ponieważ zaś każda liczba \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\) jest niemniejsza od największego nieprzekraczającego jej kwadratu liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) (niejako z definicji ) to pokazanie nierówności

\(\displaystyle{ 2^m > n^2}\) (gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest zależne od \(\displaystyle{ n}\) i zdefiniowane wyżej)

załatwi sprawę, bo w prosty sposób zachodzi

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}} > 2^{\sqrt{m^2}} = 2^m.}\)

Przy okazji \(\displaystyle{ n<(m+1)^2,}\) bo \(\displaystyle{ m}\) było największą liczbą naturalną, której kwadrat nie przekracza \(\displaystyle{ n.}\) Dlatego jeśli udowodnisz, że od pewnego momentu

\(\displaystyle{ 2^m>(m+1)^4,}\)

to wnioskiem z tego będą nierówności

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}} > 2^{\sqrt{m^2}}=2^m >(m+1)^4 > n^2,}\)

na których nam zależy.

Inaczej: chcemy udowodnić coś mocniejszego niż \(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}}>n^2;}\) mianowicie to, że spośród nierówności

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{1}} > 1^2 \\
2^{\sqrt{1}} > 2^2 \\
2^{\sqrt{1}} > 3^2 \\
2^{\sqrt{4}} > 4^2 \\
2^{\sqrt{4}} > 5^2 \\
2^{\sqrt{4}} > 6^2 \\
2^{\sqrt{4}} > 7^2 \\
2^{\sqrt{4}} > 8^2 \\
2^{\sqrt{9}} > 9^2 \\
2^{\sqrt{9}} > 10^2 \\
\vdots}\)

prawdziwe są prawie wszystkie. Po lewej stronie takich nierówności w wykładniku pod pierwiastkiem będzie największa liczba nie większa od \(\displaystyle{ n,}\) która pierwiastkuje się ładnie.

[ugabuga333]

A mógłbyś jeszcze napisać dowód tego, że od pewnego miejsca zachodzi \(\displaystyle{ 2^m>(m+1)^4}\)
?

[RSM]

A mógłbyś jeszcze napisać dowód tego, że od pewnego miejsca zachodzi \(\displaystyle{ 2^m>(m+1)^4}\)
?

Pracę domową też mamy za ciebie zanieść?
Indukcyjnie to zrób. Napisz co dostałeś, gdzie masz problem.