zadanie kangurowe

Izirix · Post autor: **Izirix** » 22 mar 2008, o 13:41

1.Wypisujemy wszystkie te liczby co najwyżej 5-cyfrowe, w zapisie których mogą wystąpić jedynie cyfry-0 i 1. Ile razy w zapisie tych wszystkich liczb wystąpiła cyfra 1?
A)36 B)48 C)80 D)160 E)320

2.Dla pewnej liczby naturalnej n ułamek (5n+6)/(8n+7) jest skracalny. Przez jaką liczbę?
A)7 B)11 C)13 D)17 E)19

Z góry dziękuję Zadania za 3 i 4 punkty rozwiązałem wszystkie, ale za 5 punktów trudno zrobić jakiekolwiek

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 22 mar 2008, o 15:04

@MatizMac: w Twoim trzecim wyjdzie 14. Może rozpisać wszystko robiąc drzewko, co po czym jest możliwe. Czyli np. najpierw masz 1:0 potem musi być 2:0, potem masz dwie możliwości: albo 3:0, albo 2:1. Ja póki co nie mam pomysłu na jakiś sensowny wzór.
Jak już wspomniałem - w zadaniach z Kangura nie liczy się ładność rozwiązania, a jego czas. Mi to zajęło niespełna 4 minuty, więc trochę dużo, ale w ostateczności może być.

Izirix pisze:1.Wypisujemy wszystkie te liczby co najwyżej 5-cyfrowe, w zapisie których mogą wystąpić jedynie cyfry-0 i 1. Ile razy w zapisie tych wszystkich liczb wystąpiła cyfra 1?
A)36 B)48 C)80 D)160 E)320

2.Dla pewnej liczby naturalnej n ułamek (5n+6)/(8n+7) jest skracalny. Przez jaką liczbę?
A)7 B)11 C)13 D)17 E)19

Z góry dziękuję Zadania za 3 i 4 punkty rozwiązałem wszystkie, ale za 5 punktów trudno zrobić jakiekolwiek

W zadaniu 1 wiesz, że liczba musi się zaczynać jedynką. Czyli zadanie sprowadza się do policzenia na ile sposobów można umieścić 2 liczby (0,1) na 4 miejscach (od drugiego do piątego). Liczysz, że będzie szesnaście takich liczb (czyli 16 jedynek na początku). Jeśli chodzi o pozostałe jedynki, to będą stanowić połowę reszty cyfr, czyli 16*4/2=32. Otrzymujesz zatem 32+16=48.

Jeśli chodzi o drugie to na pewno nie 7. (Jeśli skróci się mianownik, to nie skróci się licznik). Ja tu jeszcze widzę, że skoro ma się dzielić i licznik i mianownik, to powinna się też dzielić ich różnica czyli 3n+1. Dlatego zostaje 13 i 19. Czekajmy, może ktoś policzy do końca.

Edit: jednak będzie 13. Jeszcze nie wiem dlaczego, ale dla n=4 działa.

MatizMac · Post autor: **MatizMac** » 22 mar 2008, o 15:10

a nie uwazasz ze w tym trzecim ta druzyna mogla objac prowadzenie o wiele pozniej, np. 0:1, 0:2, 0:3, 0:4, 1:4, 2:4, 3:4, 4:4, 5:4.... nie jet napisane czy przegrywajac objela prowadzenie czy jak bylo 0:0... czy ja źle rozumie ?

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 22 mar 2008, o 15:14

MatizMac pisze:a nie uwazasz ze w tym trzecim ta druzyna mogla objac prowadzenie o wiele pozniej, np. 0:1, 0:2, 0:3, 0:4, 1:4, 2:4, 3:4, 4:4, 5:4.... nie jet napisane czy przegrywajac objela prowadzenie czy jak bylo 0:0... czy ja źle rozumie ?

Nie uważam, chociażby z tego względu, że wtedy wyjdzie więcej niż 20. Moim zdaniem tu chodziło o objęcie prowadzenia na 1:0.

Gierol · Post autor: **Gierol** » 22 mar 2008, o 15:23

co do tego z tym ulamkiem to zauwazcie ze suma licznika i mianownika jest podzielna przez 13. gdy liczba daje reszte 4 przy dzieleniu przez 13 to ulamek jest skracalny przez 13

MatizMac · Post autor: **MatizMac** » 22 mar 2008, o 15:45

a zawsze tak jest ze ulamek jest podzielny przez ta liczbe, ktora dzieli sume licznika i mianownika?

Post autor: *Kasia » 22 mar 2008, o 15:46

MatizMac pisze:a zawsze tak jest ze ulamek jest podzielny przez ta liczbe, ktora dzieli sume licznika i mianownika?

Jeśli licznik jest przez nią podzielny, to mianownik też, czyli można skrócić. Ale nie ma raczej ogólnej zasady dotyczącej tylko sumy.

limes123 · Post autor: **limes123** » 22 mar 2008, o 16:47

To z ułamkiem można tez spróbować tak.
Założmy, że i licznik i mianownik są podzielne przez jakieś całkowite k większe od 1.
Widzimy, że skoro $\displaystyle{ k|5n+6}$ oraz $\displaystyle{ k|8n+7}$ to
$\displaystyle{ k|13n\iff k|13\vee k|n}$ i tu się zatrzymuję. Może ktoś będzie miał jakiś pomysł jak to doprowadzić do końca.

[Edit]
znalazłem w "Matematyce" ciekawy artykół W. Bednarka na temat ułamków postaci $\displaystyle{ \frac{an+b}{cn+d}}$ dla $\displaystyle{ a,b,c,d,n\in N}$. Zakładając, że ten ułamek jest skaracalny przez jakąś liczbę całkowitą $D$ większą od jeden otrzymamy $\displaystyle{ an+b=kD}$ oraz $\displaystyle{ cn+d=lD}$ dla pewnych całkowitych l,k. Z powyższych równości wynika również, że
$\displaystyle{ ad-bc=(la-kc)D}$ czyli $\displaystyle{ |ad-bc|=|la-kc|\cdot D>1}$. Wykorzystując to w naszym zadaniu mamy $\displaystyle{ |ad-bc|=|5\cdot 7-6\cdot 8|=13}$ a ponieważ 13 jest liczbą pierwszą to z nierówności D>1 od razu wynika, że D=13. Może dowód nie jest na kangurze bardzo przydatny i bardziej pomocna w zadaniach będzie sama własność w tym atykule udowodniona, ale pomyślałem, że lepiej coś więcej o niej napisać (w artykule jest o tych ułamkach o wilele więcej i to jest właściwie taki "wstęp":P)

Gierol · Post autor: **Gierol** » 22 mar 2008, o 19:36

skoro suma tych liczb dzieli sie zawsze przez 13 to jesli jedna z nich jest podzielna przez 13 to druga rowniez. takim tokiem rozumowania otrzymalem wynik.

limes123 · Post autor: **limes123** » 22 mar 2008, o 21:49

Gierol,
tylko najpierw trzeba znaleźć takie n dla którego licznik albo mianownik będzie podzielny przez 13. W tym zadaniu nie będzie to co prawda kłopot (jak ktoś wcześniej zauważył zachodzi to dla n=4) ale nie we wszystkich zadaniach może się dać to tak łatwo zrobić.

Swistak · Post autor: **Swistak** » 22 mar 2008, o 23:44

A ja to zrobiłem tak śmiesznie, że jak ten ułamek ma być skracalny, to ułamek $\displaystyle{ \frac{(8n+7)-(5n+6)}{5n+6}=\frac{3n+1}{5n+6}}$ też musi być skracalny przez tą samą liczbę i dalej $\displaystyle{ \frac{2n+5}{3n+1}}$ tez musi być skracalny przez tą samą liczbę. I dalej $\displaystyle{ \frac{n-4}{2n+5}}$, dalej $\displaystyle{ \frac{n-4}{n+9}}$, dalej $\displaystyle{ \frac{n+9}{13}}$, a z tego już jasno widać, że ten ułamek można skrócić jedynie przez 13.