Co robic z mianownikiem [2 calki]

[Lorek]

No ok. Zachodzi równość \(\displaystyle{ (x^2+1)'=2x}\), a sprawdzałem to, co mam w mianowniku.

[Art511]

Aha, teraz dopiero skapowalem ze jesli licznik jest pochodną mianownika wtedy wynik calkowania to ln z licznika.

Pytanie: jaki jest na to wzor: czy ten:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x}=ln|x|+C}\)

Tylko tutaj nie widze, aby licznik byl pochodna mianownika, bo \(\displaystyle{ x'\neq dx}\)

Czy idzie ten przyklad (2 z mojego 1 postu) rozwiazac w innym sposob, np. poprzez wciagniecie mianownika do licznika i zcalkowanie

[Lorek]

Tylko tutaj nie widze, aby licznik byl pochodna mianownika

ale \(\displaystyle{ x'=1}\)
a \(\displaystyle{ dx=1\cdot dx}\)

[bolo]

\(\displaystyle{ \int\frac{18x^{5}-12x^{2}+2x}{3x^{6}-4x^{3}+x^{2}-x}dx=\int\frac{18x^{5}-12x^{2}+2x-1+1}{3x^{6}-4x^{3}+x^{2}-x}dx=\\=\int\frac{18x^{5}-12x^{2}+2x-1}{3x^{6}-4x^{3}+x^{2}-x}dx+\int\frac{dx}{3x^{6}-4x^{3}+x^{2}-x}=\\=\ln|3x^{6}-4x^{3}+x^{2}-x|+\int\frac{dx}{3x^{6}-4x^{3}+x^{2}-x}}\)

Z tym, że z tą drugą całką będzie niemały problem i wątpię, by dało się ją obliczyć. Jesteś pewien, że pierwotnie nie powinno być tam jeszcze \(\displaystyle{ $-1$}\) w liczniku?

[Art511]

Art511 napisał/a:
Tylko tutaj nie widze, aby licznik byl pochodna mianownika

ale x'=1
a dx=1\cdot dx

Aaa, no tak, zgadza sie, w drugiej calce chyba faktycznie jest i zasada jej rozwiazania bedzie taka sama jak w omawianym przykladzie, czy bedzie on wygladala tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{18x^5-12x^2+2x-1}{3x^6-4x^3+x^2-x}dx}\)

OK. Teraz bierzemy sie za szeregi Maclaurina.