[MIX] Obóz przygotowujący do IMO

[mol_ksiazkowy]

Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiazanych:

Ukryta treść:    

Z rekurencji:

\(\displaystyle{ a_{n+1}^2 –4 = (a_n^2 -2)^2 –4 = a_n^2 (a_n^2 - 4) = a_n^2 a_{n-1}^2(a_{n-1}^2 - 4) = .... = (a_n....a_1)^2 (a_1^2 -4) = (a_n....a_1a_0)^2 (a_0^2 -4) = 12(a_n...a_0)^2}\)
stad teza

[Oildale]

IMO5:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ t\left( i,j\right)=1}\) jeśli \(\displaystyle{ i}\) wygrał z \(\displaystyle{ j}\), w przeciwnym razie \(\displaystyle{ t\left( i,j\right)=-1}\).
\(\displaystyle{ r _{i} = w _{i} - l _{i}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le n}\).
\(\displaystyle{ r _{i} = \sum_{j \neq i}^{n} t(i,j)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} r _{i} = 0}\) (znany lemat)
Przeprowadzimy indukcje po \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n=4}\) działa.
Zakładamy dla \(\displaystyle{ n-1}\) i dowodzimy dla \(\displaystyle{ n}\).
Rozpatrzmy sobie ten turniej bez \(\displaystyle{ l}\)-tego gracza. Z założenia indukcyjnego mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{j \neq l}^{n} (r _{j} - t\left( j,l\right))^{3} \ge 0}\)
Sumując takie sumy dla różnych \(\displaystyle{ l}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 0 \le \sum_{l=1}^{n} \sum_{j \neq l}^{n}(r _{j} - t\left( j,l\right))^{3} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{l \neq j}^{n}(r _{j} - t\left( j,l\right))^{3}= \sum_{j=1}^{n} \sum_{l \neq j}^{n} r _{j} ^{3} -3r _{j} ^{2}t\left( j,l\right) + 3r _{j}t(j,l) ^{2} - t\left( j,l\right) ^{3} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{l \neq j}^{n} r _{j} ^{3} -3r _{j} ^{2}t\left( j,l\right) + 3r _{j} - t\left( j,l\right) = \sum_{j=1}^{n} (n-1)r _{j} ^{3} - 3r _{j} ^{2} \cdot \sum_{i \neq j}^{n}t\left( j,i\right) + 3(n-1) r_{j} - \sum_{i \neq j}^{n}t\left( j,i\right) = (n-4) \sum_{j=1}^{n}r _{j} ^{3}}\)

Mam nadzieje, że nigdzie mi się indeksy nie [ciach].-- 7 kwi 2013, o 15:18 --IMO6:

Ukryta treść:    

Liczenie na kątach

[Swistak]

No tak, bardzo przydatna informacja ten hide o IMO6 :d. Szczególnie, że takie rozwiązanie się już pojawiło i w istocie było rozwiązaniem, a nie zakomunikowaniem "patrzcie, zrobiłem to zadanie" .
A IMO5 nie czytałem, ale gratz, jeżeli zrobiłeś .

[Oildale]

Aj faktycznie już jest, nie zauważyłem. Nawet jest takie same jak moje xd