\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Liczysz granicę
\(\displaystyle{ \lambda = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \frac{ (-1)^n \cdot 2n}{16^n} \right|}}\)
i stwierdzasz, że na mocy kryterium Cauchy'ego, szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2n}{16^n} (x-3) ^{2n+1} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2n}{16^n} \left( (x-3)^2 \right)^n}\)
jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \lambda \left| (x-3)^2 \right| < 1,}\)
rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ \lambda \left| (x-3)^2 \right| > 1}\)
a dla \(\displaystyle{ \left| (x-3)^2 \right| = \frac{1}{\lambda}}\) sprawdzasz zbieżność szeregu ręcznie.
Z tych przypadków wyjdzie ci przedział zbieżności.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Liczysz granicę
\(\displaystyle{ \lambda' = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{ \left| \frac{(-1)^n \cdot 2n}{16^n} \right| }}\)
i stwierdzasz, że na mocy kryterium Cauchy'ego szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2n}{16^n} (x-3) ^{2n+1}}\)
jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \lambda' |x-3| < 1,}\)
rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ \lambda' |x-3| >1}\)
a dla \(\displaystyle{ |x-3| = \frac{1}{\lambda'}}\) badasz ręcznie.
Z tych przypadków rownież wychodzi przedział zbieżności.
Obie metody to tak naprawdę to samo rozumowanie, tylko przeprowadzone w nieco inny sposób.
Wybór należy do ciebie.
