Matematyka.pl

Wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi}\), ale to chyba czeski błąd.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}d\phi \int_{0}^{3\phi}dz \int_{0}^{2\phi} r dr=\int_{0}^{\pi}\left[z \right]_{0}^{3\phi}\left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{2\phi} d\phi =\int_{0}^{\pi}3\phi \frac{4\phi^2}{2} d\phi=
\left[ \frac{6 \phi^4}{4} \right]_{0}^{\pi}= \frac{3}{2}\pi^4}\)

Aha... oczywiście, jeśli chcemy policzyć z całki podwójnej, trzeba obrać inną strategię (teraz przeczytałem temat postu). Sprowadzamy do postaci:

\(\displaystyle{ \int_{\phi_1}^{\phi_2}d\phi \int_{r_1}^{r_2}r \cdot z(\phi,r) dr}\)

Nietrudno zauważyć, że powinno to wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}d\phi \int_{0}^{2\phi}r \cdot \left( 3\phi\right) dr}\)

Dalej liczy się analogicznie.

Tak by było gdyby nie jeden drobiazg.
Otóż pierwiastki mają to do siebie, że ujemne nie bywają (przynajmniej pierwiastki rzeczywiste, a obracamy się w tym zadaniu wśród liczb rzeczywistych).
Zatem mamy \(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} +y ^{2} } \ge 0}\),
co pociąga za sobą warunek \(\displaystyle{ arctg( \frac{y}{x} ) \ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{y}{x} \ge 0}\).
Wobec warunku w temacie zadania \(\displaystyle{ y\ge 0}\) wymusza to ograniczenie \(\displaystyle{ x>0}\), czyli mamy obszar całkowania ograniczony do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych:
\(\displaystyle{ 0\le \phi \le \frac{ \pi }{2}}\)