Matematyka.pl

Jeśli prawa jest dodatnia - to istnieją rozwiązania dla lewej dodatniej - założenie (o którym pisałem) i nic nie zginie.

Równania trygonometryczne, których jedna ze stron jest sumą albo różnicą funkcji trygonometrycznych sinus lub kosinus, wygodnie jest rozwiązywać podstawiając w odpowiednim miejscu \(\displaystyle{ 1=\tg\frac{\pi}{4}}\), np. \(\displaystyle{ \sin x-\tg\frac{\pi}{4}\cos x=1}\), skąd mamy \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\cos\frac{\pi}{4}}\). Teraz rozpoznajemy po lewej stronie równania wzór na sinus różnicy kątów i mamy \(\displaystyle{ \sin(x-\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}}\).
Dalej możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}}\) i skorzystać z równości sinusów dwóch kątów.

A jakby skorzystać w tym przykładzie np. z wzorów redukcyjnych i wzrou na sumę funkcji trygonometrycznych?

\(\displaystyle{ \sin x - \cos x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \sin ( \frac{\pi}{2} - x ) = 1}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{x-( \frac{\pi}{2} - x) }{2}\cos \frac{x+( \frac{\pi}{2} - x) }{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin ( x - \frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{4}=1}\)
\(\displaystyle{ \sin( x - \frac{\pi}{4}) \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin( x - \frac{\pi}{4}) \sqrt{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin( x - \frac{\pi}{4}) = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2 k\pi}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
\(\displaystyle{ x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2 k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=\pi + 2k\pi, k \in C}\)


Wyszło o dziwo

No przecież wtedy się już nie bawisz w minusy przy podnoszeniu potęgi tylko zauważasz , że cox równa się sinx przesuniętemu w fazie.