różniczkowalność i ciągłość

[yorgin]

Pochodne jednostronne w punkcie zero są równe zero, czyli ma pochodną w tym punkcie

Na podstawie jakiego twierdzenia to wnioskujesz?

[Daisy_5]

Policzyłam z definicji pochodne jednostronne. Obie dały mi wynik zero. A skoro są równe to istnieje pochodna w tym punkcie. Nie wiem jaki robię błąd. Proszę o wytłumaczenie.

[miodzio1988]

Daisy_5, pokaż jak liczysz te pochodne z definicji

[Daisy_5]

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\0^-} \frac{-(0+h)^2-0}{h}=\lim_{h\to\0^-} h=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h\to\0^+}\frac{(0+h)^3+2-2}{h}=0}\)
Brakuje zera - h dąży do zera. Pierwszy raz piszę w LaTeX

[miodzio1988]

Pierwsza jest źle.

Licznik to \(\displaystyle{ -(0+h)^2-2}\)

[Daisy_5]

Dlaczego -2? skoro \(\displaystyle{ f(x_0+h)-f(x_0)}\), a \(\displaystyle{ x_0=0}\)

[AiDi]

No właśnie, \(\displaystyle{ x_0=0}\), więc bierze wartość funkcji w zerze, a ta jest równa \(\displaystyle{ 2}\). Nie zależy to od tego, czy bierzesz granicę lewo- czy prawostronną. Funkcja z definicji ma tylko jedną wartość dla danego argumentu, i tutaj \(\displaystyle{ f(0)=2}\).

[Daisy_5]

Dzięki! Załapałam.