Matematyka.pl

Dowód (za wikipedią): Niech M oznacza największą wartość modułu pochodnej |f '(x)| wielomianu f w przedziale \(\displaystyle{ [\alpha - 1, \alpha + 1]}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2,\ldots ,\alpha_m}\) będą różnymi pierwiastkami wielomianu f, które są różne od \(\displaystyle{ \alpha}\). Wybierzmy taką liczbę A > 0, która spełnia warunek:

\(\displaystyle{ A < \min(1, \frac{1}{M}, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|,\dots, |\alpha - \alpha_m|)}\)

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite p, q, dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

\(\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{A}{q^n}\leqslant A < \min(1, |\alpha-\alpha_1|, |\alpha-\alpha_2|,\ldots , |\alpha-\alpha_m|)}\)

Wówczas p/q leży w przedziale \(\displaystyle{ [\alpha - 1, \alpha + 1]}\) oraz p/q nie jest żadną z liczb \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2,\ldots , \alpha_m}\). Zatem p/q nie jest też pierwiastkiem f, a ponadto żaden pierwiastek f nie leży pomiędzy \(\displaystyle{ \alpha}\) i p/q.

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy p/q i \(\displaystyle{ \alpha}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x_0}\), że

\(\displaystyle{ f(\alpha)-f\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\alpha-\frac{p}{q}\right)\cdot f^{\prime}(x_0)}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pierwiastkiem f, a p/q nie, zatem \(\displaystyle{ |f '(x_0)| > 0}\) i:

\(\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right| = \frac{|f(\alpha)-f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime}(x_0)|}= \frac{|f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime}(x_0)|}}\)

Ponieważ f jest postaci \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}c_i\cdot x^i}\), gdzie każde \(\displaystyle{ c_i}\) jest całkowite, |f(p/q)| można zapisać jako

\(\displaystyle{ |f\left(\frac{p}{q}\right)| = |\sum_{i=0}^{n}c_i\left(\frac{p}{q}\right)^i| = \frac{|\sum_{i=0}^{n}c_ip^iq^{n-i}|}{q^n} \geqslant \frac{1}{q^n}.}\)

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż p/q nie jest pierwiastkiem wielomianu f, a \(\displaystyle{ c_i}\) są liczbami całkowitymi.

Zatem, \(\displaystyle{ |f(p/q)| \ge \frac{1}{qn}}\), a skoro \(\displaystyle{ |f '(x_0)| \le M}\) na mocy określenia liczby M i 1/M > A z definicji A, otrzymujemy stąd sprzeczność:

\(\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right| = \frac{\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|}{|f^{\prime}(x_0)|} \geqslant \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n}\geqslant \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|.}\)

Wynika stąd, że nie istnieją liczby p i q o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dla m=1 teza jest oczywista. Załóżmy, że obydwie równości są prawdziwe dla m, pokażemy, że są również prawdziwe dla m+1:

\(\displaystyle{ cb_{m+1}=bc_{m+1}\Leftrightarrow c(ba_{m}+db_{m}) = b (ac_{m}+cd_{m}) \Leftrightarrow}\)

(korzystamy z tezy indukcyjnej-(**))

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow c(ab_m+bd_m) = b (ac_{m}+cd_{m}) \Leftrightarrow cab_m=bac_{m}}\)

(korzystamy z tezy indukcyjnej-(*))

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow ab c_m=ba c_{m} \Leftrightarrow 0=0}\)

co jest prawdą. Dalej udowodnimy równość (2):

\(\displaystyle{ ba_{m+1}+db_{m+1}=ab_{m+1}+bd_{m+1} \Leftrightarrow b(aa_m+cb_m)+d(ba_m+db_m)= a(ba_m+db_m)+b(bc_m+dd_m) \Leftrightarrow}\)

Po skróceniu podobnych wyrazów:

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow bc b_m+bd a_m+d^2 b_m=ad b_m+b^2 c_m+bd d_m \Leftrightarrow bd a_m+d^2 b_m=ad b_m+bd d_m \Leftrightarrow}\)

(skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego- (*))

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow d(b a_m+d b_m-a b_m-b d_m)=0}\)

ale zgodnie z założeniem indukcyjnym (**) drugi nawias jest równy 0. To oznacza, że udowadniana równość jest prawdziwa i kończy dowód indukcyjny.