Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
gracz zaczynający wygrywa, a strategia wygrywająca jest następująca: zabiera całą kupkę liczącą nieparzystą liczbę cukierków, a kupkę parzystą dzieli na dwie nieparzyste. gracz wykonujący drugi ruch musi zabrać kupkę nieparzystą i podzielić kupkę nieparzystą na dwie. po tych dwóch ruchach liczba cukierków zmalała o parzystą liczbę cukierków, są dwie niepuste kupki, jedna parzysta, druga nie, przy czym obie liczą mniej cukierków niż na początku. postępując tak dalej, musimy dojść do sytuacji (2, 1), w której ruchu dokonuje gracz pierwszy. zabiera on 1 cukierek, a pozostałą kupkę dzieli na dwie. gracz drugi nie ma już ruchu - zabiera jeden cukierek, ale nie może podzielić kupki.
Liczby jednocyfrowe dają 9*1=9 cyfr.
Liczby dwucyfrowe dają 90*2=180 cyfr.
Liczby trzycyfrowe dają 900*3=2700 cyfr.
2700+180+9>2008 , sekwencja urywa się zatem na jakiejś liczbie (lub między dwiema kolejnymi) trzycyfrowej.
W sumie nietrzycyfrowe dają: 180+9=189 . Zostało zatem : 2008-189 = 1819 .
Jednak 3 nie dzieli 1819, największa mniejszą od niej podzielną przez 3 jest 1818.
Zatem w sekwencji zapisze się całkowicie 1818/3=606 liczb całkowitych.
606-tną liczbą trzycyfrową jest 705.
Sekwencja kończy się zatem: ...7047057 . 7 to 2008-a cyfra.
Niech maksymalną potęgą , jaką liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ n}\), będzie \(\displaystyle{ k}\) , \(\displaystyle{ k\in \matbb N}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \delta}\) iloraz \(\displaystyle{ \frac{n}{p^{k}}}\).
Warunek zadania jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ n^{2}\mid (n-1)!}\)
Liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) i podzielnych przez \(\displaystyle{ p}\) jest oczywiście \(\displaystyle{ \frac{n}{p}}\).
Warunek \(\displaystyle{ \frac{n}{p}-1\geqslant 2k}\). Oznacza, że już pierwsze potęgi liczby \(\displaystyle{ p}\) w kolejnych początkowych liczbach naturalnych w \(\displaystyle{ (n-1)!}\) wystarczą, by było \(\displaystyle{ n^{2}\mid (n-1)!}\) .
Nierówność ta po przekształceniu ma postać: \(\displaystyle{ \delta p^{k-1} \geqslant 2k+1}\)
\(\displaystyle{ 1.}\)\(\displaystyle{ k\geqslant 2}\)
Nie będziemy pisali tu obliczeń. Wiadomo , że wartość lewej strony nierówności rośnie szybciej wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ k}\) niż prawa.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb F}\) będzie zbiorem trójek \(\displaystyle{ (\delta ,k,p)}\) , które nie spełniają nierówności.
Obliczamy z łatwością , że \(\displaystyle{ \mathbb F =\lbrace ;(1,3,2);(1,4,2);(1,2,3)\rbrace}\)
Liczby , które opisuje zbiór \(\displaystyle{ \mathbb F}\) to po policzeniu \(\displaystyle{ 8, 16}\) oraz \(\displaystyle{ 9}\)
Bezpośrednio sprawdzamy , że \(\displaystyle{ 16}\)spełnia , zaś \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ 9}\) nie spełniają warunku zadania. \(\displaystyle{ 2.}\)\(\displaystyle{ k=1}\)
Nierówność ma postać \(\displaystyle{ \delta p^{0} \geqslant 2*1+1}\) czyli po prostu \(\displaystyle{ \delta \geqslant 3}\) . Warunkuje to , że \(\displaystyle{ n}\) nie może być postaci \(\displaystyle{ p}\) lub postaci \(\displaystyle{ 2p}\) , co sprawdzamy bezpośrednio , gdyż między \(\displaystyle{ 1}\) , a \(\displaystyle{ p-1}\) nie ma liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ p}\) , zaś między \(\displaystyle{ 1}\) , a \(\displaystyle{ 2p-1}\) jest tylko jedna taka liczba (\(\displaystyle{ p}\)) , a muszą być co najmniej dwie.
Odp. \(\displaystyle{ n \in \mathbb N \backslash \lbrace p; 2p; 8; 9 \rbrace}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) to liczba pierwsza.
Jak już mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów na okręgu i \(\displaystyle{ S_n}\) obszarów, to teraz dodajemy kolejny punkt i po kolei dorysowujemy odcinki z nowego punktu do pozostałych punktów na okręgu. Zauważmy, że jeśli dorysowany odcinek przecina \(\displaystyle{ x}\) innych odcinków, to liczba obszarów wzrasta o \(\displaystyle{ x+1}\). No i zauważmy, że pierwszy dorysowany odcinek przecina \(\displaystyle{ 0}\) odcinków, drugi przecina \(\displaystyle{ n-2}\), trzeci \(\displaystyle{ 2 \cdot (n-3)}\) i ogólnie \(\displaystyle{ i-ty}\) odcinek przecina \(\displaystyle{ (i-1)(n-i)}\) odcinków (po jednej stronie znajduje się \(\displaystyle{ i-1}\) punktów, a po drugiej \(\displaystyle{ n-i}\) - dorysowany odcinek przecina wszystkie odcinki między tymi punktami; odcinków tych jest \(\displaystyle{ (i-1)(n-i)}\)). Wystarczy to wysumować po \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\) i już.
