Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Aha, to by mi wiele tłumaczyło... Czyli:
- w przypadku całki \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}}\) z funkcji nieparzystej całka jest zbieżna i wynosi 0;
-
- To jest ok i mamy 0 z definicji całki \(\displaystyle{ \int_{a}^{a}}\)
- \(\displaystyle{ \int_{A'}^{A}f(x) \mbox{d}x = \int_{A'}^{a}f(x) \mbox{d}x + \int_{a}^{A}f(x) \mbox{d}x}\) - jeżeli po prawej stronie przechodząc do odpowiednich granic mamy symbol nieoznaczony to nic nam to nie mówi o zbieżności całki po lewej stronie?
- To jest ok i mamy 0 z definicji całki \(\displaystyle{ \int_{a}^{a}}\)
Jak dla mnie trochę podejrzane.
jeżeli po prawej stronie przechodząc do odpowiednich granic mamy symbol nieoznaczony to nic nam to nie mówi o zbieżności całki po lewej stronie?
To zależy, bo jeżeli otrzymujemy \(\displaystyle{ \infty- \infty}\), to z pewnością nic nam nie mówi, ale jeżeli jedna jest rozbieżna, a druga zbieżna, to ich suma jest rozbieżna.
No dla mnie też jest to trochę podejrzane, jeśli chodzi o tę nieskończoność, ale to by się nawet zagadzało....
Jeżeli jedna jest rozbieżna, a druga zbieżna, to nie ma symbolu nieoznaczonego.
Zdajecie się sugerować, wbrew zdrowemu rozsądkowi, że ta całka jest zbieżna, co jest nieprawdą, o czym świadczyć może taki przykład: \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int_{-n}^{n^2} \frac{2x \mbox{d}x}{x^2+1} = \lim_{n\to \infty} ln|\frac{n^4+1}{n^2+1}| = \infty}\).
Wszak z definicji do zbieżności takiej całki wymagana jest zbieżność wszystkich ciągów postaci (do tej samej wartości): \(\displaystyle{ \int_{-a_{n}}^{b_{n}} f(x) \mbox{d}x}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} \rightarrow \infty}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n} \rightarrow \infty}\), lecz całkowicie niezależnie; tak celem wyjaśnienia ewentualnych wątpliwości.
kurcze, to ja już nic nie wiem... W takim razie jak to się ma do tego, co napisano na temat wartosci 0 z powodu nieparzystości funkcji podcałkowej? Dlaczego to byłoby nieprawdą?-- 15 maja 2010, 19:33 --\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int_{-n}^{n^2} \frac{2x \mbox{d}x}{x^2+1} = \lim_{n\to \infty} ln|\frac{n^4+1}{n^2+1}| = \infty}\)
No, a czy Ty tutaj uwzględniasz to niezależne dązenie?
Mogę sobie zbiegać dowolnie, więc skoro dla takich dwóch ciągów ciąg całek nie zbiega do zera, to wartością całki niewłaściwej nie może być zero. Argument o nieparzystości byłby słuszny, gdybyśmy mieli zagwarantowanie istnienie całki.
Być może poniższy przykład będzie pomocny:
Zbadać zbieżność całki: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{\mbox{d}x}{x}}\).
Funkcja jest nieparzysta, a przedział całkowania symetryczny względem zera, ale czy całka jest zbieżna?
Jest to może przykład trochę innego typu, ale mam nadzieję, że pomoże.
Ok, rozumiem ten drugi przykład. Jeszcze tylko, czy przy dopieraniu tamtych ciągów, jeśli one maja zbiegać całkowicie niezależnie to dlaczego można pisać jedna granice przy jednym n zmierzającym do nieskonczonosci i traktujemy to jakby w obu ciagach n zmierzało w ten sam sposób?
PS To zadanie jest jednym z pierwszych w zbiorze wśród takich banalnie liczacych sie całek... Czy nie ma jakiegoś trywialniejszego uzasadnienia tej rozbieżnosci...?
To jest sytuacja analogiczna do definicji Heinego granicy; dla dowolnej pary ciągów rozbieżnych do nieskończoności ciąg całek ma zbiegać do tej samej granicy. Jeśli więc wskażę palcem dwa ciągi, dla których sytuacja się psuje, to udowodnię nieistnienie całki; i to właśnie zrobiłem.
Może prostsza jest argumentacja, że jeśli ta całka byłaby zbieżna, to zbieżne byłyby również całki \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{0} f(x)\mbox{d}x}\) i \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} f(x) \mbox{d}x}\), a tu już gołym okiem widać, że te całki są rozbieżne.
