Równanie trygonometryczne (R)

[dario777]

\(\displaystyle{ 2sin ^{2}xcos ^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}x=0}\) lub \(\displaystyle{ cos ^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ x=k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
A odpowiedź to \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{2}}\)
Co robię źle ? Siedzę nad tym od 2 dni i ciągle nie zgadzają się wyniki ...

[Canthar]

Z równania \(\displaystyle{ sin^{2}x=0}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ sinx=0}\). Patrzysz teraz na wykres i odczytujesz \(\displaystyle{ x=k\pi}\). Z drugiego równania otrzymujesz \(\displaystyle{ cosx=0}\). Znowu patrzysz na wykres i odczytujesz \(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2}+k\pi}\). Jak narysujesz sobie oś liczbową i zaznaczysz rozwiązania bez problemu zobaczysz, że wynikiem jest \(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2}}\)
PS. Jak te swoje rozwiązania narysujesz na osi też bez problemu zauważysz tą zależność.

[dario777]

Wyniki otrzymywałeś z wykresu a czy nie można tego obliczyć ?

-- 13 maja 2010, o 11:11 --

\(\displaystyle{ sinx-1=sin2x-2cosx}\)
\(\displaystyle{ sinx-1=2cosx(six-1)}\)
\(\displaystyle{ 1=2cosx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} =cosx}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)lub\(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)

W odpowiedzi jest jeszcze \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
Gdzie zrobiłem błąd ?

[Canthar]

Pamiętaj cholero nigdy nie dziel przez zero! (rozpatrz przypadek, gdy \(\displaystyle{ sinx-1=0}\)). Tak przy okazji bezpieczniej jest wyłączać przed nawias niż tak dzielić.

[dario777]

Jeśli mam \(\displaystyle{ \frac{1}{4}=cos ^{2} x}\) to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=cosx}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}=cosx}\)
A w odpowiedzi jest tylko\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3} +2k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{3} +2k \pi}\)
Dlaczego nie ma wartości dla \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}=cosx}\) ?

[Canthar]

Może wcześniej coś jest źle?

[dario777]

\(\displaystyle{ cos4x=8cos ^{4}x-1}\)
\(\displaystyle{ 8cos ^{4}x-8cos ^{2}x+1=8cos ^{4}x-1}\)
\(\displaystyle{ 1=4cos ^{2}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} =cos ^{2}x}\)
Dalej napisałem wcześniej.Wygląda że dobrze nigdzie nie dzieliłem
Mam jeszcze problem z \(\displaystyle{ sin ^{2}x*cos ^{2}x= \frac{1}{16}}\)
Edit:
\(\displaystyle{ sin ^{2}x*cos ^{2}x= \frac{1}{16}}\) rozwiązałem

[Canthar]

Pewnie tam w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}+k\pi \vee x=-\frac{\pi}{3}+k\pi}\). Różnica niewielka, a jak istotna

[dario777]

A jak się rozwiązuje takie coś :
sinx*sin2x=sin3x

[Majeskas]

dziwne równanie, próbowałem z różnych stron, ale nie widzę tego w inny sposób:

\(\displaystyle{ sinx \cdot sin2x=sin3x}\)

\(\displaystyle{ sin2x=2sinx \cdot cosx}\)

\(\displaystyle{ sin3x=-4sin^3x+3sinx}\)

\(\displaystyle{ 2sin^2x \cdot cosx=-4sin^3x+3sinx}\)

\(\displaystyle{ 4sin^3x+2sin^2x \cdot cosx-3sinx=0}\)

\(\displaystyle{ sinx(4sin^2x+2sinx \cdot cosx-3)=0}\)

\(\displaystyle{ sinx=0 \vee 4sin^2x+2sinx \cdot cosx-3=0}\)

Pierwsze równanie to wiadomo, z drugim trochę gorzej. Zastosowałem więc następujące podstawienie:

\(\displaystyle{ t=tg \frac{x}{2}}\), \(\displaystyle{ sinx= \frac{2t}{1+t^2}}\), \(\displaystyle{ cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)

oczywiście, przy założeniu:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C}\)

\(\displaystyle{ x \neq \pi +2k \pi \wedge k \in C}\)

akurat powyższe założenie zawiera się w rozwiązaniu równania sinx=0. Możemy więc użyć tego podstawienia, bo nawet jeśli w ten sposób tracimy potencjalne rozwiązanie, i tak pokrywałoby się ono z rozwiązaniem drugiego równania.

zatem:

\(\displaystyle{ 4 \cdot ( \frac{2t}{1+t^2})^2+2 \cdot\frac{2t}{1+t^2} \cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-3=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}+ \frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}=3}\)

\(\displaystyle{ 16t^2+4t-4t^3=3(t^4+2t^2+1)}\)

\(\displaystyle{ 3t^4+4t^3-10t^2-4t+3=0}\)

prawie jak równanie zwrotne, ale niestety...
jest to po prostu wielomian czwartego stopnia, który ma 4 pierwiastki niewymierne. Możemy je znaleźć złożonymi wzorami, np. stąd:


Po karkołomnych przekształceniach wyjdzie:

\(\displaystyle{ tg \frac{x}{2}=t_1 \vee tg \frac{x}{2}=t_2 \vee tg \frac{x}{2}=t_3 \vee tg \frac{x}{2}=t_4}\)

Dokładne rozwiązania będziemy zapewne w stanie podać jedynie przy pomocy funkcji cyklometrycznej (odwrotnej do trygonometrycznej) arctgx:

\(\displaystyle{ [tgx=a \wedge x \in (- \frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2})] \Rightarrow x=arctg(a)}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} \in \{arctg(t_1)+k \pi, \ arctg(t_2)+k \pi, \ arctg(t_3)+k \pi, \ arctg(t_4)+k \pi\} \wedge k \in C}\)

ostateczne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x \in \{k \pi , \ 2arctg(t_1)+2k \pi, \ 2arctg(t_2)+2k \pi, \ 2arctg(t_3)+2k \pi, \ 2arctg(t_4)+2k \pi\} \wedge k \in C}\)

Na pewno nie chodziło o równanie np:

sinx+sin2x=sin3x

Takie byłoby o wiele prostsze do rozwiązania. Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Majeskas,

Aż tak źle to nie jest ten wielomian da się dość łatwo rozłożyć na czynniki kwadratowe


\(\displaystyle{ 3t^4+4t^3-10t^2-4t+3=0\\
9t^4+12t^3-30t^2-12t+9=0\\
9t^4+12t^3=30t^2+12t-9\\
9t^4+12t^3+4t^2=34t^2+12t-9\\
\left( 3t^2+2t\right)^2= 34t^2+12t-9\\
\left( 3t^2+2t+ \frac{y}{2} \right)^{2} =\left( 3y+34\right) t^2+\left( 2y+12\right) t+ \frac{y^2}{4} -9\\
\Delta=0\\
\left( 2y+12\right)^2=\left( y^2-36\right)\left( 3y+34\right)\\
\left( y+6\right)\left( 4y+24\right)=\left( y+6\right)\left( y-6\right)\left( 3y+34\right)\\
\left( y+6\right)\left( 3y^2-16y-204-4y-24\right)=0\\
\left( y+6\right)\left( 3y^2-20y-228\right)=0\\
y=-6\\
\left( 3t^2+2t-3\right)^{2} =16t^2\\
\left( 3t^2+2t-3\right)^{2} -16t^2=0\\
\left( 3t^2-2t-3\right)\left( 3t^2+6t-3\right)=0\\
\left( 3t^2-2t-3\right)\left( t^2+2t-1\right)=0\\}\)

Natomiast na stronie do której odnośnik podałeś są wzorki nie wiadomo skąd