Śląski Konkurs Matematyczny 2010

timon92 · Post autor: **timon92** » 30 sty 2010, o 12:44

u mnie nie było kwalifikacji, nauczyciele sami ustalili, kogo wysłać na rejonowe

thegreyeyes · Post autor: **thegreyeyes** » 30 sty 2010, o 17:01

U mnie także nie było eliminacji, ale dostałam przykładowy test ułożony przez mojego nauczyciela.
Głównie kongruencje, dowodzenie nierówności, geometria. Standard .

timon92 · Post autor: **timon92** » 4 lut 2010, o 13:17

zadania z rejonowego, czas dwie godziny zegarowe:

Zad. 1
Znajdź funkcję liniową $\displaystyle{ f}$, która dla każdego $\displaystyle{ x \in R}$ spełnia warunek: $\displaystyle{ f(2x+3)=3x+1}$

Zad. 2
Udowodnij, że
$\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - ......... - \frac{1}{2007} + \frac{1}{2008} - \frac{1}{2009} + \frac{1}{2010} < \frac{3}{8}}$

Zad. 3
Prosta przechodząca przez punkt $\displaystyle{ A}$ przecina przekątną $\displaystyle{ BD}$ równoległoboku $\displaystyle{ ABCD}$ w punkcie $\displaystyle{ E}$, bok $\displaystyle{ BC}$ w punkcie $\displaystyle{ F}$ i prostą $\displaystyle{ DC}$ w punkcie $\displaystyle{ G}$. Wykaż, że $\displaystyle{ EA^2=EF \cdot EG}$

Zad. 4
Wyznaczyć wszystkie całkowite wartości parametru $\displaystyle{ p}$ tak, by pierwiastkiem równania $\displaystyle{ x^3+px^2=18}$ była liczba pierwsza.

Zad. 5
W kwadracie o boku 30 cm wybrano dowolnie 2010 punktów. Wykazać, że pewne trzy z wybranych punktów leżą w kole o promieniu 0,75 cm.

Zad. 6
Obliczyć największy wspólny dzielnik liczb $\displaystyle{ 12345678^9}$ oraz $\displaystyle{ 10^{2010}}$

patry93 · Post autor: **patry93** » 4 lut 2010, o 16:00

Jak robiliście zad. 2? Ja próbowałem przez ~0,5h rozwiązać to "w ogólności" i nic, a jak się dowiedziałem, że trzeba zsumować pierwszych 7 ułamków, to chciałem się pochlastać -,- Jestem zdecydowanie przeciw temu zadaniu, bo próbujący zrobić je "sposobem" pewnie wykładali się jeden po drugim
Ogólnie - mam wszystko oprócz 2. przy czym zad. 5. jestem średnio pewny, więc nie jest tak źle.
Czy każdy rejon ma oddzielny próg i czy jest on ustalany na podstawie napisanych prac, czy jest stały?

limes123 · Post autor: **limes123** » 4 lut 2010, o 16:08

Dla n>3 mozna udowodnic indukcyjnie $\displaystyle{ \frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{2n(2n+1)}\leq \frac{3}{8}-\frac{1}{2n+1}}$.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 4 lut 2010, o 18:16

Patry93 - czuję dokładnie ten sam ból, nierówności najczęściej szły mi od ręki i byłem pewien, że jeśli trafi się (a zawsze się trafia) na rejonie jakaś nierówność, to będę miał co najmniej jedno zadanie zrobione na 100%. A wyszło całkowicie na odwrót. Mam wszystko poza drugim i częścią geometrii. I robiąc zadanie 4 doszedłem też do wniosku, że nie umiem czytać, bo wyszły mi 2 parametry p, jeden był -1 a drugi 2,5 bodajże i taką też dałem odpowiedź. Dopiero po skończeniu pisania przypomniałem sobie, że p ma być całkowite. Mam nadzieje, że wiele punktów nie poleci za to ;E

Generalnie zadania bardzo proste. Przy piątym, pierwsze, co rzuciło mi się na myśl, to Dirichlet, ale ostatecznie z niego nie korzystałem i poszło bardziej 'siłowo'. Pierwsze na pierwszy rzut oka było dla mnie przerażeniem, bo nie robiłem tego typu zadań, ale ostatecznie wyszło bardzo ładnie, a 6 w gruncie rzeczy szło w 2 linijki, tylko pisałem dłuuugie komentarze, żeby komisja się nie przyczepiła

Wiec do zobaczenia (OBY) w finale! xD

badmor · Post autor: **badmor** » 4 lut 2010, o 20:40

pisze:Generalnie zadania bardzo proste. Przy piątym, pierwsze, co rzuciło mi się na myśl, to Dirichlet, ale ostatecznie z niego nie korzystałem i poszło bardziej 'siłowo'.

A mógłbyś przedstawić choć szkic tego rozwiązania siłowego? Ja tu nie widzę innego rozwiązania niż "Dirichlet". Stwierdzenia typu "najgorsze położenia punktów", "najlepsze położenia", to niestety rozwiązania żadne, bo wtedy trzeba udowodnić, że każde inne położenie nie spełnia tego warunku (najgorszego, najlepszego).

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 4 lut 2010, o 21:34

Liczę polę kwadratu, potem pole koła. Dzielę polę kwadratu przez pole koła, wynik zaokrąglam do całości i wychodzi 510. Traktuję 510 jako ilość 'szufladek', a 2010 jako ilość elementów do rozmieszczenia. Może i jest to Dirichlet, ale wspomagałem się komentarzem na pół strony z tego względu, że żadnych zadań stricte Dirichletowych nie robiłem i nie miałem w tym wielkiego doświadczenia. Mam nadzieję, że dobrze.

Co do rozwiązań typu 'najlepsze i najgorsze położenie punktów' nie mogę się zgodzić z prostego względu. Należało wykazać, że co najmniej jedna trójka punktów leży w kole o promieniu 0.75cm, więc wykazywanie czegokolwiek ponad to uważam za utrudnianie sobie życia.

A finał ma być 8 kwietnia o 10:00, taka informacja dla zapominalskich, potencjalnych finalistów

badmor · Post autor: **badmor** » 4 lut 2010, o 22:11

Marcinek665 pisze:Liczę polę kwadratu, potem pole koła. Dzielę polę kwadratu przez pole koła, wynik zaokrąglam do całości i wychodzi 510. Traktuję 510 jako ilość 'szufladek', a 2010 jako ilość elementów do rozmieszczenia. Może i jest to Dirichlet, ale wspomagałem się komentarzem na pół strony z tego względu, że żadnych zadań stricte Dirichletowych nie robiłem i nie miałem w tym wielkiego doświadczenia. Mam nadzieję, że dobrze.

Co do rozwiązań typu 'najlepsze i najgorsze położenie punktów' nie mogę się zgodzić z prostego względu. Należało wykazać, że co najmniej jedna trójka punktów leży w kole o promieniu 0.75cm, więc wykazywanie czegokolwiek ponad to uważam za utrudnianie sobie życia.

Wg mnie jest rowiązanie na 0 punktów - niestety. A co z częściami kwadratu, których nie pokrywają te koła?

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 4 lut 2010, o 22:23

Ale ja nie 'układałem' tych kół obok siebie, bo wtedy doszłoby do tego, o czym piszesz - byłyby wolne przestrzenie między nimi. Podzieliłem te pola, by wiedzieć, ile mogę utworzyć szufladek na powierzchni tego kwadratu, by wykorzystać w całości jego pole. Myk polegał na tym, że szufladek w takim wypadku powstało więcej niż w razie pokrywania kwadratu kołami w ten sposób, by się stykały, tworząc wolne przestrzenie. Skoro więc udowodnię, że istnieje taka trójka punktów, która znajdowałaby się na powierzchni tych 'upchanych na siłę' okręgów, to logiczne będzie, że dowodzi to również przypadku z mniejszą liczbą szufladek.

Pisałem to w ten sposób, by komisja nie mogła się niczego doczepić, więc myślę, że nie będzie żadnego blefu. Szczególnie, że ów tłumaczenie zajęło mi ponad jedną stronę przeznaczoną na rozwiązanie

A tak z ciekawości - jak powinno wyglądać ściśle dirichletowe rozwiązanie?

badmor · Post autor: **badmor** » 4 lut 2010, o 22:37

Marcinek665 pisze:Ale ja nie 'układałem' tych kół obok siebie, bo wtedy doszłoby do tego, o czym piszesz - byłyby wolne przestrzenie między nimi. Podzieliłem te pola, by wiedzieć, ile mogę utworzyć szufladek na powierzchni tego kwadratu, by wykorzystać w całości jego pole. Myk polegał na tym, że szufladek w takim wypadku powstało więcej niż w razie pokrywania kwadratu kołami w ten sposób, by się stykały, tworząc wolne przestrzenie. Skoro więc udowodnię, że istnieje taka trójka punktów, która znajdowałaby się na powierzchni tych 'upchanych na siłę' okręgów, to logiczne będzie, że dowodzi to również przypadku z mniejszą liczbą szufladek.

Pisałem to w ten sposób, by komisja nie mogła się niczego doczepić, więc myślę, że nie będzie żadnego blefu. Szczególnie, że ów tłumaczenie zajęło mi ponad jedną stronę przeznaczoną na rozwiązanie

A tak z ciekawości - jak powinno wyglądać ściśle dirichletowe rozwiązanie?

Ja dalej twierdzę, że Twoje rozwiązanie jest złe - ciekawe, jak oceni to komisja.
Dzielisz dany kwadrat na 900 kwadratów jednostkowych odcinkami równoległymi do boków kwadratu. Co najmniej jeden z tych małych kwadratów zawiera co najmniej trzy z wybranych punktów - inaczej byłoby tych punktów najwyżej 1800. Przekątna każdego małego kwadratu ma długość $\displaystyle{ $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$}$. Więc te trzy punkty leżą w kole o średnicy $\displaystyle{ $ 3/2 $}$, czyli o promieniu $\displaystyle{ $ 3/4 $}$, i koniec dowodu.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 4 lut 2010, o 22:45

Faktycznie, rozwiązanie schludniejsze niż to moje, lecz mimo wszystko twierdzę, że też mam poprawnie. Wszystko będzie jasne, jak dostaniemy wyniki (wie ktoś kiedy?).

Co do reszty zadań, to tak:

Ukryta treść:

limes123 · Post autor: **limes123** » 4 lut 2010, o 23:31

Musialbys udowodnic, ze odpowiednio duzo z tych "upchanych okregow" zawiera sie w kolach o promieniach 3/4, a tak byc nie musi byc. Ale spoko z tym co masz i tak wejdziesz do finalu;)

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 4 lut 2010, o 23:42

No, zakładając, że możliwe punkty za zadania to 1,2,3,4,5, a nie 0,2,5,6, to możliwe, aczkolwiek zawsze wolę się nastawiać na najgorsze. Zresztą za dużo o tym myślę, trzeba wyluzować i myśleć o nadchodzącej OM'ce

I tutaj rada dla 'potomnych'. Jeśli myślicie, że 2 godziny to wystarczająco, by się opierdzielać na zawodach, to jesteście w błędzie. Sam się na tym przejechałem, robiąc na luzie początkowe zadania. A potem dziwiłem się, że jest mało czasu - trzeba się sprężyć. Fakt, w zadaniach tego typu, na pomysł jest łatwo wpaść, ale jednak pisanie rozwiązania zajmuje dużo czasu, szczególnie, gdy ktoś nie umie stosować twierdzeń i próbuje uzasadniać pewne zależności słownie (jak ja np.), że tak powiem. Ale możliwe, że jest to spowodowane moim nieobyciem matematycznym.

I to już chyba tyle z mojej strony na ten temat, bo nieźle tutaj naspamowałem. Do poczytania przy ogłaszaniu wyników

timon92 · Post autor: **timon92** » 8 kwie 2010, o 12:21

finał, czas 120 minut:
zad. 1
Dana jest funkcja $\displaystyle{ y=f(x)}$ określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Wiedząc, że dla dowolnego $\displaystyle{ x}$ prawdziwa jest równość $\displaystyle{ 2f(x)+f(1-x)=3x}$, wyznacz $\displaystyle{ f(2010).}$
zad. 2
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną $\displaystyle{ n}$ taką, aby liczby $\displaystyle{ n+3}$ oraz $\displaystyle{ n-1000}$ były kwadratami liczb naturalnych.
zad. 3
W trapezie $\displaystyle{ ABCD}$ o podstawach $\displaystyle{ AB}$ i $\displaystyle{ CD}$ punkt $\displaystyle{ O}$ jest punktem przecięcia się przekątnych. Wiedząc, że pola trójkątów $\displaystyle{ AOB}$ i $\displaystyle{ COD}$ są odpowiednio równe $\displaystyle{ p^2}$ i $\displaystyle{ q^2}$, oblicz pole trapezu.
zad. 4
Wyznacz liczby całkowite $\displaystyle{ a}$, dla których równanie $\displaystyle{ x^2+ax+a=0}$ ma pierwiastki całkowite.
zad. 5
Podaj trzy ostatnie cyfry liczby $\displaystyle{ 2^{2010}}$. Odpowiedź uzasadnij.