Matematyka.pl

Piotr Rutkowski pisze:Kolejne ciekawe zadanie. Tym razem nie jest ono bardzo wymagające (w końcu jakieś udało się zrobić ), ale jest kilka ciekawych faktów, które można z niego wydedukować.

4.
Mamy zadane dwa nierosnące ciągi \(\displaystyle{ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty} \ \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\), z których oba są zbieżne do zera. Ponadto szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny, natomiast szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest rozbieżny. Czy istnieje \(\displaystyle{ N\in \mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ \forall_{n\geq N} \ b_{n}\geq a_{n}}\)?

Pozdrawiam

Dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) o wyrazach dodatnich spełniającego założenia można skonstruować ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) przeczący hipotezie. Idea jest następująca. Mając skonstruowane \(\displaystyle{ m}\) wyrazów ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) kładziemy \(\displaystyle{ b_i=\frac{a_m}{2}}\) dla \(\displaystyle{ \left\lceil\frac{2}{a_m}\right\rceil}\) kolejnych indeksów \(\displaystyle{ i}\) począwszy od \(\displaystyle{ i=m+1}\). Fakt ten oznacza mniej więcej tyle, że suma górna Riemanna (po pewnym podziale) monotonicznie malejącej funkcji całkowalnej w sensie niewłaściwym, np. na przedziale \(\displaystyle{ [0,infty)}\), nie musi być skończona i dlatego całkę niewłaściwą inaczej się definiuje.