Matematyka.pl

No to dzisiaj odbył się finał! (Mogę się pochwalić, że zrobiłem wszyściutkie )
Wrzucam zadania dla klas 1.


1. Wyznacz wszystkie trójki (x,y,z) liczb naturalnych spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y-z=100 \\ y^{2}+x-z=124 \end{cases}}\)

2. Dana jest liczba sześciocyfrowa podzielna przez 7. Udowodnij, że po przeniesieniu pierwszej cyfry na koniec liczby, powstała liczba sześciocyfrowa będzie również podzielna przez 7.

3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Z wierzchołka C kąta prostego poprowadzono wysokość h, która dzieli go na dwa mniejsze trójkąty prostokątne. W każdy z trzech otrzymanych trójkątów wpisano okrąg. Udowodnij, że długości promieni tych okręgów sumują się do h.



Chyba jeszcze pamiętam zadania dla klasy 2:

1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} = a}\), wyznacz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}}\)

2. Funkcja f\(\displaystyle{ (x)=ax^{2}+bx+c}\) dla wszystkich argumentów całkowitych przyjmuje wartości całkowite. Udowodnij, że liczby \(\displaystyle{ 2a, a+b, c}\) są całkowite i na odwrót.

3. \(\displaystyle{ xyz=1 \Rightarrow x+y+z \ge 3}\)

Trzecich klas niestety nie pamiętam. Moim skromnym zdaniem klasa II miała prostsze zadania, przynajmniej dla mnie

w zadaniu 3 dla klas drugich na pewno treśc dobra?
bo z poprzedniego etapu były cięższe nierównośći.

Na pewno dobra. Też mnie zdziwiło takie zadanie na finale.

Zadania dla klas trzecich.
1. Znaleźć w liczbach rzeczywistych wszystkie rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{5} - y^{5} = 992 \\ x - y =2 \end{cases}}\)

2. Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są również jednakowe i jest ona kwadratem liczby całkowitej.

3. Wielomian W(x) przyjmuje dla x=26 wartość 8, a dla x=29 wartość 15. Dowieść, że co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą.

ad1. ad.2 ad.3

może ktoś wrzucić odpowiedzi do klasy 2???
głównie chodzi mi o zadanie 2, no i 1

jerzozwierz pisze: i na odwrót

czyli jak?
Bo ta pierwsza część zadania dla mnie stosunkowo prosta, ale nie wiem o co chodzi z tym "na odwrót"

jerzozwierz, mógłbyś napisac rozwiazanie zadania 2. i 3. z klas pierwszych?

drugiego nie chce mi się pisać, ale napiszę do trzeciego hint:

Drugie było raczej schematyczne, jak się kiedyś zrobiło podobne zadanie to nie było żadnego problemu.

Rozw: Trzecie (raczej trudne)
Mój sposób:

To moje rozwiązanie raczej prostsze, ale ten wzór mniej popularny, nie wpadłbym na to, żeby tego wzoru użyć, ale w szkole, mieliśmy jakieś takie wzorki na promienie etc.
mamy trzy trójkąty prostokątne:
a,x,h (a przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promeiniu \(\displaystyle{ r_1}\)
b,y,h (b przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promieniu \(\displaystyle{ r_2}\)
c,a,b (c przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promieniu \(\displaystyle{ r_3}\)
x,y to długości boków na jakie h podzieliła c.

mamy:
\(\displaystyle{ r_1= \frac{x+h-a}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_2= \frac{h+y-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_3= \frac{a+b-c}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_1+r_2+r_3=\frac{x+h-a}{2}+\frac{h+y-b}{2}+\frac{a+b-c}{2= \frac{x+h-a+h+y-b+a+b-x-y}{2}=2h/2=h}\)

Czy ktoś się orientuje o co chodzi z tym kolejnym, międzynarodowym etapem tego konkursu?
Witam wszystkich na forum btw

Mógłby ktoś podać rozwiązanie z zadania nr. 1 z II etapu dla klas pierwszych ? Albo chociaż jakiś "haczyk"

odejmij drugie od pierwszego.


A jak zrobić pierwsze dla drugich klas?

Za pomocą \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a}\) wyliczamy wartości \(\displaystyle{ x^4+ \frac{1}{x^4}}\) i \(\displaystyle{ x^3+ \frac{1}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a \Leftrightarrow x^2+ \frac{1}{x^2} =a^2-2 \Leftrightarrow x^4+ \frac{1}{x^4} =(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2}\)

\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a \Leftrightarrow (x+ \frac{1}{x})^3 =a^3 \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3} +3(x+ \frac{1}{x} )=a^3 \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3}=a^3-3(x+ \frac{1}{x} ) \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3}=a^3-3a}\)
Teraz wystarczy użyć tego co otrzymaliśmy wcześniej i elegancko wychodzi co ma wyjść :
\(\displaystyle{ [x^4+ \frac{1}{x^4}][x^3+ \frac{1}{x^3}]=[a^4-4a^2+2][a^3-3a] \Leftrightarrow x^7+ \frac{1}{x^7}+[x+ \frac{1}{x}] = a^7-7a^5+14a^3-6a \Leftrightarrow x^7+ \frac{1}{x^7}+[a] = a^7-7a^5+14a^3-6a \Leftrightarrow x^7= \frac{1}{x^7} = a^7-7a^5+14a^3-7a}\)
Mam nadzieje że nie ma błędów
Pozdrawiam
//pełno głupich błędów ale mam nadzieje że już wszystko ok ;]

\(\displaystyle{ x^4+ \frac{1}{x^4} =(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2-2}\)

Złe ostanie przejście:, powinno być \(\displaystyle{ a^4-4a^2+2}\)