Matematyka.pl

Mam radosną nowinę: są zadania.
Zamieszczę na razie tylko pierwszą i drugą serię, bo reszty nie zdążyłem przepisać (niezbyt miło jest kucać 10 minut w empiku):
1. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste x,y spełniające równanie:
\(\displaystyle{ (x^{2010}-1)(y^{2009}-1)=(x^{2009}-1)(y^{2010}-1)}\).
2. Dany jest trójkąt ABC , w którym AC=BC. Na odcinku AC wybieramy punkt D, który nie pokrywa się z A ani z C. Niech S będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABD. Wykaż, że punkty B,C,D,S leżą na jednym okręgu.
3. (tu nie mogę się rozczytać)
4. Niech A będzie takim zbiorem, że:
\(\displaystyle{ 2 \in A}\) i jeśli \(\displaystyle{ x \in A \wedge x \neq 0 \wedge x \neq 1}\), to \(\displaystyle{ \frac{x+1}{x} \in A}\) i \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1} \in A}\). Wykaż, że wszyskie liczby wymierne większe od 1 należą do A.
5.Niech ABCD będzie czworościanem ze ścianami będącymi trójkątami ostrokątnymi. Niech l będzie prostą, która przechodzi przez środek sfery wpisanej i środek sfery opisanej na tym czworościanie. Pokaż, że jeśli prosta l przecina odcinek AB, to \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB= \sphericalangle ADB}\).
6. Niech p będzie liczbą pierwszą różną od 5. Niech a,b,c będą liczbami całkowitymi spełniającymi:
\(\displaystyle{ p|a+b+c}\) i \(\displaystyle{ p|a^5+b^5+c^5}\).
Wykaż, że p dzieli co najmniej jedną z liczb \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2}\), \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3}\).
7. Niech ABC będzie trójkątem (\(\displaystyle{ \sphericalangle ACB >90}\)) wpisanym w okrąg o środku S. Prosta CS przecina odcinek AB w punkcie D. Pokaż, że jeżeli \(\displaystyle{ AC+BC=2CS}\), to okręgi wpisane w trójkąty ADC i BDC mają równe promienie.
8. Niech a,b,c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, a n liczbą naturalną większą od 0.
Udowodnij nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a^{n+1}}{b+c} + \frac{b^{n+1}}{a+c} + \frac{c^{n+1}}{a+b} \ge ( \frac{a^{n}}{b+c} + \frac{b^{n}}{a+c} + \frac{c^{n}}{a+b} )\cdot \sqrt[n]{ \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{3} }}\).
Mam nadzieję, że nic nie przekręciłem. Powodzenia.

Jakbym mógł startować to bym pomyślał nad nimi a tak to tylko popatrzę ;p

Aaaaaaa, co za stres, co za stres
Muszę zrobić chociaż 3 zadania, to będę wniebowzięty
Powodzenia wszystkim w rozkminianiu życzę!

Jako że już byłem świadkiem i uczestnikiem dwóch ostatnich tematów z tej edycji, pozwolę sobie zabrać głos w dyskusji. Nie będę wypowiadał się co do trudności zadań, bo na dobrą sprawę nie ma pewności, że te powyżej są poprawnie przepisane, a trudność to i tak każdy indywidualnie zmierzy .

Przytoczę pewną wypowiedź z ubiegłorocznego tematu:

W tym roku rozwiązywanie zadań olimpijskich jest dla mnie bardziej uciążliwe niż w latach ubiegłych...
i też odnoszę wrażenie, że rzucacie 'hintami' na prawo i lewo. Wywnioskowałem wiele z Waszych wypowiedzi, thx ; ) Np. jeśli ktoś mówi, że jego rozwiązanie jest długie bądź krótkie, to po przeczytaniu jego wypowiedzi łatwo jest odrzucić połowę metod, które się standardowo stosuje w przypadku zadania z danego działu. Osiągnięcie kompromisu byłoby trudne, dlatego wg mnie lepiej byłoby, gdyby panował surowy rygor.

Co już dość szybko się przejawiło:

Django pisze:Hmm... czyżby zadanie pierwsze było aż tak łatwe? Zajęło mi dokładnie tyle czasu, ile czekałem na autobus i wracałem nim po zakupie delty, czyli na oko jakieś 30 minut .

Skoro dopiero zaczynamy tegoroczną przygodę, to na takie coś jeszcze można przymknąć oko. Jednak jeśli zdania typu "to zadanie jest dość trudne" albo "to zadanie ma więcej z kombinatoryki niż z teorii liczb" będą się nagminnie powtarzać, prawdopodobnie ostro posypią się tutaj ostrzeżenia lub po prostu dyskusja zostanie zamknięta, co by było dość niemiłym akcentem. Zauważcie, że im więcej piszecie na temat poziomu zadań albo zadajecie pytania "czy na prawdę zadanie 1500 jest takie trudne?", "czy zrobiłem to zadanie w 5,5 sekundy, czy może tylko mi się zdaje?" wybitnie psujecie innym zabawę. Pomyślcie co by było, gdyby po godzinie II czy III etapu można było oddać głos klasyfikujący zadanie jako łatwe/średnie/trudne i wyniki były dostępne dla wszystkich? Raczej wszyscy by się zabrali za to "łatwe". Jednak takiej ankiety nie ma i każdy ma do dyspozycji tylko swoje subiektywne odczucie na temat zadań - dlatego nawet najłatwiejsze zadania mogą zostać na II/III etapie niezrobione. Z drugiej strony gdy kilkukrotnie powtórzy się w tej dyskusji "to zadanie jest trudne", to bardzo zniechęca do zrobienia go. W dwóch ostatnich edycjach wysłałem po 11 zadań z I serii, a tego 12-tego nie zrobiłem głównie sugestywnie przyjmując forumowy pewnik, że to zadanie jest ciężkie i tak na prawdę poświęcając mu znacznie mniej czasu niż zadaniom ocenionym jako "łatwe", a nie zawsze to "trudne" rzeczywiście okazało się dużo trudniejsze od innych (np. zeszłoroczne 7.).

Rozpisałem się, więc zakończę krótko: MYŚLEĆ!, nie piszcie o każdym jednoprocentowym postępie w robieniu zadania, nie śmiejcie się z innych, nie sugerujcie nic "niechcący" nawet z chęci zaszpanowania wiedzą i umiejętnościami.

Powodzenia i wszystkim życzę co najmniej ogólnopolskiego finału

Jako że została przytoczona moja wypowiedź, chyba powinienem się ustosunkować do wypowiedzi kolegi Sylwek.
Od razu zaznaczam, że również nie toleruję żadnych prób ściągania, a zwłaszcza takiego już niskiego (np. pisanie do kogoś z forum, żeby pomógł w zadaniu). Wiem również (przeglądałem tematy poświęcone pierwszym etapom poprzednich edycji OM), że ze zwykłe bąknięcie jednego użytkownika może stać się cenną wskazówką dla drugiego. I moim zdaniem nie ma chyba skutecznych metod zastopowania tego procederu. Bo jeśli nawet ten temat zostałby zamknięty, to i tak kombinatorzy będą próbowali oszukać w inny sposób (a ich pomysłowość jest niemal nieograniczona, szkoda, że na pracę i wiedzę się to nie przekłada). Widziałem różne sposoby oszukiwania (i zapewne nie tylko ja), jednak nie widzę sensu, żeby je teraz przytaczać.
Każdemu tematowi takiemu jak ten towarzyszy multum postów typu: "zrobiłem zadanie x, jest łatwe..."
Czy to jest złe? Tak i nie. Dlaczego tak, podałeś ku temu przykłady (dołowanie innych). Ale zastanówmy się w takim razie jakie posty nie dołowałyby innych użytkowników? Bo załóżmy taki post: "zadanie x jest banalne, zrobiłem w 3 minuty w pamięci" dołuje z pewnością, bo ci, którzy go zrobić nie umieją, a chcą je zrobić pomyślą sobie: przy nim jestem kretynem. Gdyby ktoś inny napisał: "siedzę nad tymi zadaniami od miesiąca i nie mam żadnego, jestem idiotą, nie nadaję się", to niby sam siebie dołuje, szukając może pocieszenia, ale przecież może istnieć użytkownik, który myśli nad zadaniami od półtora miesiąca i też nic nie ma. I jak on się czuje? Odpowiedź jest chyba oczywista. Bardzo mało postów mogłoby naprawdę nie dołować...
Dlaczego to nie jest złe, przykład jest prosty. Weźmy sobie osobnika Kowalskiego. Osobnik Kowalski uczy się w liceum, ma z klasówek z matematyki piątki, czasem mu szóstka wpadnie, przerasta klasę poziomem. Dowiaduje się o olimpiadzie. Ogląda zadania, dochodząc do wniosku: "to jakiś hardkor, w życiu tego się nie nauczę robić". Jednak, jeśli się nie poddaje na samym starcie, zaczyna robić zadanka, poznaje teorię, czyta różne książki, przegląda sprawozdania... Nadchodzi wreszcie tak długo wyczekiwana data 31 sierpnia. Ukazują się zadanka. Kowalski ma już niemałą wiedzę, czeka na zadania, żeby rzeczywiście sprawdzić swoją wiedzę i liczy na dostanie się do drugiego etapu. Widzi zadanko x, wczytuje się, zaczyna kminić i ku swojej euforii po chwili już rozwiązał! Mówi sobie, że to niemożliwe, że musi być jakiś haczyk. Sprawdza bardzo dokładnie, wczytuje się ponownie, robi zadanie inną metodą... Nie ma bata, jest dobrze! To jego pierwsze rozwiązane zadanie. Chwali się tym najbliższemu otoczeniu, rodzicom, kolegom... No ale oni chyba nie rozumieją, jak wielka jest jego radość. Zrozumieć mogą tylko osoby, które zadanie zrobiły. A że czytają ten post też osoby, które go nie mogą zrobić, to w ten sposób wracamy na początek polemiki...
Rozumiem chyba co miałeś ogólnie na myśli, pisząc swój post, a mianowicie aby użytkownicy nie przesadzali w swoich wypowiedziach i mieli na wglądzie również innych użytkowników. Pisząc swój post, również miałem to na względzie.
Podsumowując, ten problem jest tak samo nierozwiązywalny, jak nierozwiązywalny jest problem wyeliminowania oszustwa.
Pzdr

OK, co by nie przedłużać dyskusji, w większości zgadzam się z Tobą, szczególnie, że zrozumieją Cię głównie osoby o podobnych zainteresowaniach. Wolałem napisać to jednak teraz, niż gdy już dyskusja zejdzie na temat zadań.

Zalecam jednak do przemyślenia kwestii wypowiedzi na temat zadań. Np. wypowiedzi na temat geometrii "zrobiłem siłowo " oraz "zrobiłem w 5 minut" oddzielnie mniej znaczą, niż gdyby wypowiedziała to ta sama osoba w odstępie kilku postów. Nie trzeba być geniuszem, aby powiązać te dwa posty i przetłumaczyć na: "zróbcie na sinusach/analitycznie, bo idzie szybko" . Nie mierzcie też trudności zadań linijką - coś w stylu "zadanie 100 zajęło mi 3 linijki normalnego pisma" dość szybko może nakierować na rozwiązanie.

Przepraszam wszystkich!!! W zadaniu 4 poprawna treść to:
4. Niech A będzie takim zbiorem, że:
\(\displaystyle{ 2 \in A}\) i jeśli \(\displaystyle{ x \in A \wedge x \neq 0 \wedge x \neq 1}\), to \(\displaystyle{ \frac{x+1}{x} \in A}\) i \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1} \in A}\). Wykaż, że wszyskie liczby wymierne większe od 1 należą do A.

Tyle czekałem na zadanka... A teraz przeczytałem je i chyba położę się spać Po jednokrotnym przeczytaniu bez żadnego rozkminiania poziom trudności wydaje się podobny do tego w zeszłym roku. Powodzenia wszystkim i oby do zobaczenia na drugim etapie

PS. Mam nadzieję, że mój post nikogo nie zdołuje

Dobra, na stronie olimpiady są już prawdziwe zadania:)
A jeśli ktoś narzeka na poziom, niech spróbuje zrobić IV serię (zadania są poprawne, żeby nie było):
13. Ile co najwyżej 5-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego (n>10) można wybrać w taki sposób, żeby każde dwa z nich miały co najmniej jeden element wspólny? Odpowiedź uzasadnij.
14.Prostopadłościan o krawędziach długościach \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) jest w całości zawarty w prostopadłościanie o krawędziach długościach \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ A+B+C\geq a+b+c}\).
15.Dany jest trójkąt ABC. Punkt wewnętrzny E środkowej AD tego trójkąta rzutujemy prostokątnie na bok BC, otrzymując punkt F. Punkt wewnętrzny M odcinka EF rzutujemy prostokątnie na boki AC i AB, otrzymując odpowiednio punkty N i P. Udowodnij, że jeśli punkty N, E i P leżą na jednej prostej, to M należy do dwusiecznej kąta BAC.
16.Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2,...,a_n}\) (\(\displaystyle{ n>1}\)) będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że \(\displaystyle{ a_1<a_2<...<a_n}\) Pokaż, że zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{NWW(a_1,a_2)}+\frac{1}{NWW(a_2,a_3)}+...+\frac{1}{NWW(a_{n-1},a_n)}\leq 1-\frac{1}{2^{n-1}}}\), gdzie symbol \(\displaystyle{ NWW(a, b)}\) oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Wszystkim startującym życzę powodzenia:)

Ej, to nie te zadania!!! Albo ja pisałem coś innego, albo ty. 9 i 10 były inne.

To ja, jako reprezentant tzw. Grupy Trzymającej Władzę pozwolę sobie zapewnić wszystkich, że wszelkie posty, które nie dość, że nie wniosą nic do tematu, a będą nieraz czczymi przechwałkami na temat zadań usuwał będę bez litości, a recydywa karana będzie ostrzeżeniami.
Kolega Sylwek podał wystarczająco dużo argumentów za tym.

Po tych zapowiedziach widać już chyba, że nie zostanie pobity rekord długości tematu sprzed roku xD.

Zadanka Damianito są złe i brzydkie, nie róbcie ich, to podły żart.

A feee, brzydkie i śmierdzące :<
xD

Fajnie że mówisz w porę, bo gasisz moją euforię ze zrobienia jednego z nich xDD