Całka nieoznaczona

Post autor: **czeslaw** » 8 sie 2009, o 13:51

Widzę że z całkowaniem masz nie tyle problemy natury technicznej, co etyczno-filozoficznej.

Rozbijasz na ułamki proste, ponieważ widzisz (wiem że jeszcze nie widzisz), że jest to droga która pozwoli Ci otrzymać wynik ostateczny. Jeśli widzisz również inną drogę, to też możesz nią pójść. Jak napisałem, przeliczenie dostatecznej liczby przykładów da dobre efekty.

Madelebele · Post autor: **Madelebele** » 9 sie 2009, o 13:28

czeslaw pisze:Widzę że z całkowaniem masz nie tyle problemy natury technicznej, co etyczno-filozoficznej.

Rozbijasz na ułamki proste, ponieważ widzisz (wiem że jeszcze nie widzisz), że jest to droga która pozwoli Ci otrzymać wynik ostateczny. Jeśli widzisz również inną drogę, to też możesz nią pójść. Jak napisałem, przeliczenie dostatecznej liczby przykładów da dobre efekty.

Byłem przekonany, że dla każdej całki można użyć dowolnej metody i że ostatecznie wynik będzie identyczny, tyle, że jedna metoda będzie wygodniejsza od drugiej. Ale fakt, tutaj rozkład na ułamki działa idealnie

Oto 2 kolejne całeczki, z ktorymi mam problem i proszę o drobną podpowiedź:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}dx}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{2 - \sqrt{x}}}\)

argv · Post autor: **argv** » 9 sie 2009, o 13:31

1)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}dx = -dt}\)

\(\displaystyle{ -\int sintdt = ...}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 sie 2009, o 13:32

Podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} =t}\)
i
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=t}\)
\(\displaystyle{ x= t^{2}}\)
\(\displaystyle{ dx= 2tdt}\)

Madelebele · Post autor: **Madelebele** » 9 sie 2009, o 13:36

argv pisze:1)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}dx = -dt}\)

\(\displaystyle{ -\int sintdt = ...}\)

Faktycznie, wstyd -- 9 sie 2009, o 13:38 --

miodzio1988 pisze:Podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} =t}\)
i
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=t}\)
\(\displaystyle{ x= t^{2}}\)
\(\displaystyle{ dx= 2tdt}\)

Podajesz 2 podstawienia. To oznacza, że mam oba zastosować naraz?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 sie 2009, o 13:46

Drugie podstawienie jest do drugiego przykładu.

Madelebele · Post autor: **Madelebele** » 9 sie 2009, o 14:03

Ok, wyszło z tego \(\displaystyle{ 2\int\frac{tdt}{2-t}}\). Czy teraz powinienem całkować przez części, gdzie \(\displaystyle{ f(x) = t}\)?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 sie 2009, o 14:05

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2t dt}{2-t}= - 2\int_{}^{} \frac{-t dt}{2-t}=- 2\int_{}^{} \frac{(2-t -2)dt}{2-t}}\)
i rozbijasz na dwie banalne całki.

EDIT

Tak można było wcześniej podstawić cały mianownik Miodek zakręcił

Post autor: **czeslaw** » 9 sie 2009, o 15:05

Madelebele pisze:Byłem przekonany, że dla każdej całki można użyć dowolnej metody i że ostatecznie wynik będzie identyczny, tyle, że jedna metoda będzie wygodniejsza od drugiej.

Nie mam pojęcia skąd takie przekonanie, ale jak umiesz to używaj dowolnej metody.

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 9 sie 2009, o 16:55

czeslaw pisze:
Madelebele pisze:Byłem przekonany, że dla każdej całki można użyć dowolnej metody i że ostatecznie wynik będzie identyczny, tyle, że jedna metoda będzie wygodniejsza od drugiej.
Nie mam pojęcia skąd takie przekonanie, ale jak umiesz to używaj dowolnej metody.

Przekonanie jak najbardziej słuszne. Można stosowac dowolny wzór, jeżeli spełnione są konieczne założenia i oczywiście stosujemy go poprawnie, a wynik powinien byc zawsze taki sam (z dokładnością do stałej). W końcu matematyka jest nauka ścisłą i wynik nie zależy od okoliczności (jest też twierdzenie, że istnieje tylko jedna funkcja pierwotna dowolnej funkcji z dokładnością do stałej).

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 sie 2009, o 17:32

Dla mnie mało słuszne. Bo metody w całkach mają mało założeń. Możesz je stosować zatem dowolnie. Tak samo jak z kryteriami zbieżności w szeregach. Też można zastosować (prawie)każde kryterium,ale nie każde kryterium działa. Z tymi metodami całkowania jest tak samo.

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 9 sie 2009, o 19:14

To że nie każda metoda działa to swoją drogą. Jednak jeżeli metoda nie zadziała to nie otrzymamy wyniku, a nie może być tak, że otrzymamy niepoprawny. Czasami równie dobrze możemy podstawić \(\displaystyle{ t= \sqrt{x}}\) lub \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x}}\), ważne jest by podstawienie było sensowne. Autotowi tematu wyszedł zły wynik (pierwsza całka) raczej nie dlatego, że scałkował przez części zamiast przez podstawienie, ale dlatego, że zrobił to niepoprawnie i przez przypadek otrzymał wynik .

Post autor: **czeslaw** » 9 sie 2009, o 23:36

lina2002, bo patrzysz na to co napisałem przez pryzmat tego tematu. Rzeczywiście, przez części było wykonane źle i napisałem to. I to nie znaczy, że nie można zastosować całkowania przez części. Oczywiście, że można zawsze każdą metodą, jeśli tylko założenia są spełnione. Natomiast analogia miodzia do szeregów jak najbardziej trafiona. Trzeba wiedzieć którą metodę stosować, podobnie jak z całkowaniem przez podstawienie - też można podstawić cokolwiek i coś tam wyjdzie. I będzie to wszystko poprawne, dopóki się nie pomylimy. Ale funkcji pierwotnej z tego nie otrzymamy, nie doprowadziwszy do jakiejś ludzkiej postaci. Trzeba wiedzieć co podstawić, a żeby wiedzieć, należy przeliczyć n przykładów.

Koniec dyskusji na temat filozoficzny.