22.:
Bez straty dla ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ n^{2} \le x <(n+1)^{2}}\)(n jest naturalne). Wówczas z jednej strony\(\displaystyle{ x<(n+1)^{2}}\), a z drugiej \(\displaystyle{ x+y+ \frac{x}{y}+1 \ge x+2 \sqrt{x}+1 \ge (n+1)^{2}}\). A więc w tym przedziale mieści się kwadrat liczby naturalnej.
24.:
Bez straty dla ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ x_{1} \ge x_{2} \ge x_{3}}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(x_{1})=b(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3}) \ge 0}\), \(\displaystyle{ f(x_{2})=c(x_{2}-x_{3})(x_{2}-x_{1}) \le 0}\), czyli ta funkcja kwadratowa posiada miejsce zerowe.
25. nie jest prawdziwe np. gdy te liczby to 6 i 6-- 18 czerwca 2009, 17:41 --
8.:
Niech \(\displaystyle{ l=sk+r}\), \(\displaystyle{ 0 \le r<l}\). Wówczas: \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{sk+r}+1-(n^{k}+1) \Rightarrow n^{k}+1|n^{k}(n^{(s-1)k+r}-1) \Rightarrow n^{k}+1|n^{(s-1)k+r}-1 \Rightarrow n^{k}+1|n^{(s-1)k+r}-1 +n^{k}+1 \Rightarrow n^{k}+1|n^{k}(n^{(s-2)k+r}+1) \Rightarrow n^{k}+1|n^{(s-2)k+r}+1 \Rightarrow ...}\)
Widać tu pewną regułę, której nie chce mi się udowadniać. W każdymbądź razie wykonując te operacje odpowiednią ilość razy dla \(\displaystyle{ s}\) parzystego mamy \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{r}+1}\), co jest sprzeczne(\(\displaystyle{ n^{k}+1>n^{r}+1}\)) Dla \(\displaystyle{ s}\) nieparzystego \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{r}-1 \Rightarrow r=0 \Rightarrow k|l}\).
Widać tu pewną regułę, której nie chce mi się udowadniać. W każdymbądź razie wykonując te operacje odpowiednią ilość razy dla \(\displaystyle{ s}\) parzystego mamy \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{r}+1}\), co jest sprzeczne(\(\displaystyle{ n^{k}+1>n^{r}+1}\)) Dla \(\displaystyle{ s}\) nieparzystego \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{r}-1 \Rightarrow r=0 \Rightarrow k|l}\).
