[Nierówności] Interesujaca nierownosc

[_el_doopa]

pijany bylem to pzreciez nie ma bata zeby poszlo z radona bo to w druga strone jest

[Tomasz Rużycki]

Kazdemu sie moze zdarzyc

[nuggle]

a czy \(\displaystyle{ a,b,c \in\NN}\) ??

[juzef]

Nie.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \alpha \leq \sqrt{\frac{a}{a+b}} + \sqrt{\frac{b}{b+c}} + \sqrt{\frac{c}{c+a}}}\)

[juzef]

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{a+b}} + \sqrt{\frac{b}{b+c}} + \sqrt{\frac{c}{c+a}}>\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c}=1}\)

[chris139]

\(\displaystyle{ a,b,c>0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{a+b}} + \sqrt{\frac{b}{b+c}} + \sqrt{\frac{c}{c+a}} \leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}}\)

Nasza nierówność jest równoważna

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{c+a}} \leqslant 3}\)

Niech

\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{b}{a}} \ y=\sqrt{\frac{c}{b}} \ z=\sqrt{\frac{a}{c}}}\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{2}{1+z^2}} \leq 3}\)

Niech \(\displaystyle{ x \leqslant y \leqslant z}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ xy \leqslant 1 \land z \geqslant 1}\)

dlatego też

\(\displaystyle{ \frac{8z}{1+z} \geqslant \frac{8z}{1+z^2}}\)

A więc
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}} \right)^2 \leqslant 2 \left( \frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2} \right) = 4 \left(1+\frac{1-x^2y^2}{\left(1+x^2 \right) \left(1+y^2 \right)} \right) \leqslant \frac{8}{1+xy}=\frac{8z}{1+z}\\
\sqrt{\frac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}} \leq 2 \sqrt{\frac{2z}{1+z}}}\)

A ponieważ
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{1+z}} \leqslant \frac{2}{1+z}}\)

Należy więc jedynie dowieść

\(\displaystyle{ \frac{2}{1+z}+2\sqrt{\frac{2z}{z+1}} \leq 3}\)

A to jest już równoważne

\(\displaystyle{ 1+3z-2 \sqrt{2z(1+z)} \geqslant 0\\
\left(\sqrt{2z}-\sqrt{z+1} \right) ^2 \geqslant 0}\)
Q.E.D.

[EDIT]
poprawiłem, pomyliłem się w zapisie

[max]

Niech \(\displaystyle{ x \leqslant y \leqslant z}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ xy \leqslant 1 \land z \geqslant 1}\)

dlatego też

\(\displaystyle{ \frac{8z}{1+z} \leqslant \frac{8z}{1+z^2}}\)

Ta ostatnia nierówność zachodzi w drugą stronę.

[ Dodano: 23 Sierpnia 2008, 23:39 ]

Niech \(\displaystyle{ x \leqslant y \leqslant z}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ xy \leqslant 1 \land z \geqslant 1}\)

dlatego też

\(\displaystyle{ \frac{8z}{1+z} \geqslant \frac{8z}{1+z^2}}\)

A więc
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}} \right)^2 \leqslant 2 \left( \frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2} \right) = 4 \left(1+\frac{1-x^2y^2}{\left(1+x^2 \right) \left(1+y^2 \right)} \right) \leqslant \frac{8}{1+xy}=\frac{8z}{1+z}\\
\sqrt{\frac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}} \leq 2 \sqrt{\frac{2z}{1+z^2}}}\)

(...)
[EDIT]
poprawiłem, pomyliłem się w zapisie

Nadal nie jest dobrze. Ostatnia z nierówności nie wynika z poprzednich (wcześniej wynikała na skutek złego znaku w nierówności powyżej). Co więcej nie jest ona prawdziwa, np wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ z = 2}\), by otrzymać ostrą nierówność w stronę przeciwną.

[frej]

No to może ja napiszę, jak można zrobić to zadanie inaczej. Oczywiście to nie jest moje rozwiązanie


\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{a+b}}+ \sqrt{ \frac{b}{b+c} } +\sqrt{ \frac{c}{c+a} } \leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{a+b}}+ \sqrt{ \frac{b}{b+c} } +\sqrt{ \frac{c}{c+a} } = \frac{ \sqrt{a(b+c)(c+a)} + \sqrt{b(a+b)(c+a)} + \sqrt{c(a+b)(b+c)} }{ \sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)} } \\ \leqslant \sqrt{ \frac{(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))(a+b+b+c+c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} }}\)
na mocy nierówności Cauchy'ego - Schwarza
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))(a+b+b+c+c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} } =2\cdot \sqrt{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} } =2\cdot \sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \leqslant 2\cdot \sqrt{1+\frac{1}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\)
Ostatnia nierówność jest oczywiście bardzo znana

[chris139]

Teraz jest już dobrze, nieświadomie dodałem potęgę do z.

[gryzzly92]

A ja mam takie pytanie na bocznicy, co wy ciągle z jakimś QM-AM? Cóż to?

[Justka]

HM,GM,AM,QM
Są to średnie odpowiednio harmoniczna,geometryczna,arytmetyczna, kwadratowa

[sstanko]

Łatwo zauważyć że nierówność ta jest FAŁSZYWA, wiec dziwie się że nikt wcześniej o tym nie napisał.

Tym bardziej dziwie się że została "udowodniona"

Dowód? Obliczamy dla a=b=1; c=2 : lewa strona równa się ok 2.15, a prawa strona jest ok 2.12

Pozdrawiam

P.S. Przepraszam wszystkich za zamieszanie i dziękuję za szybką odpowiedź. Niedobrze odczytałem zadanie (wydawało mię się ze w każdym z wyrazów są wszystkie zmienne a, b i c)

[pyzol]

Mi lewa wyszła \(\displaystyle{ \approx 2,10}\).

[Spokojny_]

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{2}{3}} \leq 3\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{2}{3}} \leq 2\sqrt{\frac{1}{2}}\\
1+\sqrt{2}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}} \\
1+2\sqrt{2}+2 \leq 4\cdot\frac{3}{2} = 6\\
2\sqrt{2} \leq 3 \\
\sqrt{8} \leq \sqrt{9}}\)