[LX OM] II etap Dzień 2

[mnij]

a ja mój najbardziej nielubiany dział poza stereo czyli geo zrobiłem w 40 minut czym byłem strasznie zdziwiony. potem zrobiłem piąte ale jak się okazało udowodniłem fałszywą tezę xp błedu nadal nie widze w swoim dowodzie no ale cóż. w 6 jakieś głupoty popisałem żeby komisja miała więcej roboty ale licze na 6 z dzisiaj ;p razem nie licze na więcej niż 10. próg obstawiam na 19 pkt+

[timon92]

1. indukcja.

2. nie mam

3. Zwaliłem, będzie 0.

4. Zacząłem robić analitycznie i na końcu mi wyszła tożsamość trygonometryczna do udowodnienia na 3 linijki, więc napisałem "łatwo sprawdzić, że jest ona prawdziwa, co kończy dowód".

5. Dla uproszczenia niech ten n-elemnteowy zbiór będzie taki {1,2,3,...,n}
Dla n=4k wskazałem przykład takiej rodziny podzbiorów, że każde dwa są rozłączne lub mają 2 elementy wspólne. Oto przykład: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {5,6,7}, {5,6,8}, ... , {4k-3,4k-2,4k-1}, {4k-3,4k-2,4k}, {4k-3,4k-1,4k}, {4k-2,4k-1,4k}
Dla n niepodzielnego przez 4 zrobiłem tak: spróbujmy skonstruować taką rodzinę podzbiorów, że każde dwa są rozłączne lub mają dwa elementy. Jeśli wszystkie są rozłączne, to jest ich nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{n}{3}}\). Zatem można wskazać takie dwa podziory, które mają dwa elementy wspólne. Powiedzmy, że są to \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) i \(\displaystyle{ \{2,3,4\}}\). Dalej możemy postąpić dwojako:
(i) Możemy dołączyć zbiory \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) i \(\displaystyle{ \{2,3,4\}}\) i dalej musimy znaleźć rodzinę podzbiorów dla \(\displaystyle{ n-4}\), więc wracamy do punktu wyjścia
(ii) Możemy dołączyć zbiory \(\displaystyle{ \{2,3,p\}}\). W ten sposób możemy otrzymać co najwyżej \(\displaystyle{ n-2}\) podzbiory. Zatem dla n niepodzielnego przez 4 nie można wskazać n podzbiorów takich, że każde dwa są rozłączne lub mają dwa elemnty wspólne, więc dla dowolnych n 3-elementowych podzbiorów znajdą się 2 takie, że mają dokładnie 1 element wspólny.

6. Podstawienie \(\displaystyle{ a_i=x_{i-1}-x_i+x_{i+1}}\), wówczas \(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n=n}\), metodą zbliżeń wykazałem, że \(\displaystyle{ n=a_1+a_2+...+a_n \le a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n}\), więc muszą zachodzić równości \(\displaystyle{ a_i=1}\) dla wszelkich i. Stąd błędnie wywnioskowałem, że \(\displaystyle{ x_i=1}\), i wyszło mi dla wszystkich n (1,1,...,1).

[Swistak]

a ja mój najbardziej nielubiany dział poza stereo czyli geo

Bez sensu xD. Stereo zalicza się do geo . Twoje zdanie powinno brzmieć "A ja mój najbardziej nielubiany dział poza stereo czyli plani (...)" ;P.

[ironleaf]

Heh... Temat co prawda o dniu drugim, ale ja o całych zawodach napiszę, bo mi się podróż dłuży. Wczoraj zawaliłem i zrobiłem tylko 1., a zostawiłem 2. choć minąłem sie z rozwiązaniem o włos. Żal. Dziś 4., 5., część 6. - czasu nie starczyło, ale to co zapisałem ma taką samą linię dowodu co firmówka. Razem przy pomyślnych wiatrach 3,5 zadania. Zdecydowanie trudniejsze niż ostatnio, rok temu zrobiłem 4... W Warszawie na herbatkę przyszło kilkanaście osób, więc nie wiadomo kto co zrobił. 1. rzeczywiście bez indukcji i modułów idzie. Oto rozwiązanie, które pokazywałem na omówieniu - komitetowi się podobało:)
Niech \(\displaystyle{ \Delta a_{i}=a_{i}-a_{i-1}}\). Liczby te są niedodatnie. Po lewej stronie mamy \(\displaystyle{ (a_2-\Delta a_{2})...(a_n-\Delta a_{n})+(a_2+\Delta a_{2})...(a_n+\Delta a_{n})}\). Koniec pisania. Jeśli wymnożymy wszystko i popatrzymy, to widać że wyrazy zawierające nieparzystą liczbę delt się poredukują, a pozostałe podwoją. Każdy składnik tej sumy zawiera parzyście wiele delt, jest więc nieujemny. Ponadto mamy wyraz równy prawej stronie (nie zawierający delt). Ostatnie dwa zdania... QED.
Próg widzę 13.
A tak na koniec: na herbatce w Warszawie członek komitetu zareklamował nasze forum, mówił że ciekawe rzeczy można przeczytać, nawet pewien post cytował;)

[mnij]

a ja mój najbardziej nielubiany dział poza stereo czyli geo

Bez sensu xD. Stereo zalicza się do geo . Twoje zdanie powinno brzmieć "A ja mój najbardziej nielubiany dział poza stereo czyli plani (...)" ;P.

widzisz tak tego nie lubie że nawet jak o tym piszę to nie wychodzi xp ale zgadzam się tak miało brzmieć xp głupi błąd ale na szczęście za niego nikt mi punktów nie obetnie

[Piotr Rutkowski]

nawet pewien post cytował;)

Jako że z natury jestem ciekawski to się spytam jaki?

[Natalia:)]

Dziś zadania były prostsze, ale łatwo było się gdzieś rąbnąć.
W najlepszym przypadku będę miała 2,6,5,6,0,5 a w najgorszym 0,6,2,6,0,2;; więc znając moje szczęście, nie załapię się :/


Jak myślicie, o ile zetną punkty za nie uwzględnienie przypadku liczb podzielnych przez 6 w zadaniu 6 ? Tzn. nie nastawiam się na więcej niż dwa, ale może jednak xD
PS. Świstak, średnia kwadratowa i arytmetyczna działa dla liczb ujemnych ?

Aa, i jeszcze jedno, jaka jest szansa że dadzą 2 za ściemę bez modułu w 1 ?

[ironleaf]

nawet pewien post cytował;)

Jako że z natury jestem ciekawski to się spytam jaki?

Otóż ten który zawierał wskazówki Kuby Witaszka opublikowane na stronie XIV LO. Ze smutnym komentarzem, że nie wszyscy dobrych rad posłuchali...

[Piotr Rutkowski]

PS. Świstak, średnia kwadratowa i arytmetyczna działa dla liczb ujemnych ?

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{1}^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}{n}}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|}{n}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\)
Więc raczej działa

Co do pierwszego i szóstego to zależy, jeśli w pierwszym to po prostu indukcja bez patrzenia na to czy strony są dodatnie czy ujemne, to pewnie zero, a jak sama powiedziałaś, jeśli w ogóle nie rozpatrywałaś przypadku dla n dającego resztę 0 modulo 6 to 2 pewnie 5 nie będzie... No, ale to tylko moja opinia

Otóż ten który zawierał wskazówki Kuby Witaszka opublikowane na stronie XIV LO. Ze smutnym komentarzem, że nie wszyscy dobrych rad posłuchali...

[ojciec_kogut]

Ej ale jak w pierwszym robię indukcje ze wzgledu na element \(\displaystyle{ a_{n+1)}\) to gdzie wy tam macie moduł. Ja tylko dziele obie strony przez dodani iloczyn \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}...a_{n-1}}\). Wytlumaczcie to prosze.

[Piotr Rutkowski]

Jak u nas pierwsza osoba prezentowała swoje rozwiązanie 1, to wyszło jej, że musi przemnożyć dwie nierówności, jedną z założenia, a druga to zdaje się \(\displaystyle{ a_{n}\geq a_{n+1}}\) czy coś w tą mańkę. No i ogólnie chodzi o to, że w założeniu indukcyjnym nierówność nie składała się tylko z dodatnich elementów, więc wymnożenie wcale nie musiało dać poprawnej nierówności. No, jakoś tak. Nie prezentowali u Was wzorcówki?

[ojciec_kogut]

To ja napiszę swoją indukcję i mi powiesz czy zrobiłem bład.

Zalozenie indukcyjne:

\(\displaystyle{ a_{1}a_{2}...a_{n-1}+(2a_{2}-a_{1})(2a_{3}-a_{4})...(2a_{n}-a_{n-1}) \ge 2a_{2}a_{3}...a_{n}}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ (2a_{2}-a_{1})(2a_{3}-a_{4})...(2a_{n}-a_{n-1}) \ge a_{2}a_{3}...a_{n-1}(2a_{n}-a_{1})}\)
Teza równiez w takiej postaci:
\(\displaystyle{ (2a_{2}-a_{1})(2a_{3}-a_{4})...(2a_{n+1}-a_{n}) \ge a_{2}a_{3}...a_{n}(2a_{n+1}-a_{1})}\)
Podstawiam do lewej strony założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ (2a_{2}-a_{1})(2a_{3}-a_{4})...(2a_{n+1}-a_{n}) \ge a_{2}a_{3}...a_{n-1}(2a_{n}-a_{1})(2a_{n+1}-a_{n}) \ge a_{2}a_{3}...a_{n}(2a_{n+1}-a_{1})}\)

Przepisuje ostatnia nierownosc dziel przez \(\displaystyle{ a_{2}a_{3}...a_{n-1}}\), bo mogę i reszta się ladnie zwija. Jak to bedzie?

[Swistak]

PS. Świstak, średnia kwadratowa i arytmetyczna działa dla liczb ujemnych ?

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{1}^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}{n}}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|}{n}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\)
Więc raczej działa

Jak robiłem 6 zadanie i już miałem napisane na czysto 4 i 5, gdzieś po upływie 3:15h wpadłem na tę srednią kwadratową i arytmetyczną, to byłem taki podniecony, lecz zaraz mi się przypomniało, że w średnich tak jest, że się sprawdzają tylko dla dodatnich - oblukałem założenia zadania - rzeczywiste... (wtedy jeszcze byłem pewien, że z tego mi wyjdzie jednoznacznie, że wszystkie wyrazy będą równe 1, a nie, że z tej nierówności wyjdzie układ równań ;]). Pomyślałem, kurczę a już myślałem, że mam dobrze, lecz zaraz pomyślałem, ze przecież akurat \(\displaystyle{ K \ge A}\) może zachodzić nie tylko dla dodatnich i zaraz se pomyślałem, że tam pod pierwiastkiem są wszystkie składniki podniesione do kwadratu, więc i tak wyjdzie na plus i się wtedy tak ucieszyłem . Ale potem jeszcze z godzinę siedziałem nad banalnym układem równań .-- 14 lutego 2009, 21:25 --Niestety ojciec_kogut ale nie idzie. Nie wiadomo czy lewa strona nierówności u Ciebie zapisanej w 3 linijce Latexa jest dodatnia czy ujemna.

[szablewskil]

Pierwszego dnia mialem niecale 1 (pamietamelem w indukcji o modulach, ale mam drobny blad w dowodzie) i cale 2, a drugiego nic . Najgorzej wkurza mnie ze 4 mialem zrobione tylko tego nie zauwazylem i juz nawte nie wiem co napisalem na kartce w rozwiazaniu

[Sylwek]

4. 2x tw. sinusów i 1x tw. cosinusów - 3 linijki
5. 5 stron, ale poprawnie, jedynie za zapis mogą pociąć
6. firmówka

Mam 5/6, a próg obstawiam na 14 punktów.