[LX OM]II etap - jak wam poszło?

[matex_06]

Jak myslicie ile pkt bedzie za rozwiazanie 1 bez modulow? i wogole dlaczego nie bylo cukru do herbaty?

[snm]

Cukier byl w kostkach na tackach. Pierwsze szlo bez modulow, choc inaczej niz podane tutaj.

[Matheux]

Szło, szło, kolega z klasy mi tłumaczył, że założył sobie, że jest jakieś \(\displaystyle{ b_{i}}\), takie że coś tam.. i tak po kilku takich cudacznych podstawieniach już modułów nie trza było..

[frej]

Bądź co bądź nie podoba mi się ta nierówność, bo najczęstszym sposobem było rozwiązanie przy pomocy indukcji. Jednak moje próby zaindukowania tej nierówności się nie powiodły... Jeśli nic się nie zmieni, to pewnie próg będzie na poziome jednego zadania dzisiaj ( tak mi się wydaje ). Dość mało, ale patrząc na poziom dzisiejszych zadań, to chyba w sam raz. Wiadomo, można było zrobić drugie i powalczyć z pierwszym, ale jednak mimo wszystko zadania były względnie trudne, zwłaszcza, że spodziewałem się czegoś innego....

[AB]

Jeśli jutro będzie taka trudność zadań jak dziś to próg obstawiam na 2 zadania. W porównaniu do poprzedniego np. roku to tym razem mega trudne moim zdaniem.

[Swistak]

Ja od razu jak pomyślałem o indukcji, to stwierdziłem, że aby wyszło należy udowodnić, że \(\displaystyle{ 2a_{n+1}-a_{n} \ge \frac{a_{n} \cdot (2a_{n+1}-a_{1})}{2a_{n}-a_{1}}}\) i ja tu osobiście nie widzę koniecznych modułów. Oczywiście na OM doszedłem do sprzeczności, a w autobusie, że to jest prawdziwe jeżeli \(\displaystyle{ (a_{n}-a_{n+1})(a_{1}-a_{n}) \ge 0}\), co jest oczywiście prawdą.

[snm]

To w autobusie masz tak jak ja

Ciekawe jak będzie z progiem, bo z jednej strony mało kto zrobił wszystko, niewiele osób nawet 2, ale każde z zadań było zrobione przez podobną ilość osób, np. część zrobiła geo, a nierówności nie, część zrobiła 1, ale geo bez szans.

[michaln90]

Co do dzisiejszego dnia:
1. bez problemu pocisnąłem. Najpierw próbowałem indukcją(wychodziły jakieś moduły), ale odrzuciłem ten i pomysł i wątpię żeby ktokolwiek kto robił w ten sposób miał dobrze. Ja podstawiałem m=n-1, ciąg b1,b2,...,bm taki że
bi=ai-a(i+1) oraz ciąg c1,c2,...,cm taki że ci=a(i+1). Należy zauważyć że w obu ciągach wszystkie wyrazy są nieujemne, a nierówność ma postać (c1+b1)(c2+b2)...(cm+bm) + (c1-b1)(c2-b2)...(cm-bm)
>= 2c1c2...cm, co już jest oczywiste.
2. dochodzę do wniosku że b2-1 jest podzielne przez a+b i a-b. Z podzielności ab+1 przez a+b dochodzę do wniosku że NWD(a,b)=1. Stąd z kolei NWD(a-b,a+b)<=2, co przy założeniu że b>1 daje a2-b2<=2b2 - 2. Mamy więc a2<=3b2-1, a dalej to oczywistość.
To mi zajęło 1 godzinę.
Potem geo mi przystawiło, bo dopiero o 13 wpadłem na pomysł żeby przeliczać. Doszedłem do banalnej tożsamości trygonom., której nie zdążyłem udowodnić. Liczę na 14 pkt. ale jak dostanę 12 to sie nie zdziwię.

-- 13 lutego 2009, 18:05 --

a co do jutrzejszego dnia:
4. pewnie kombinatoryka (ale jakoś wątpię w niezmienniki i półniezmnienniki), dadzą coś nietypowego czego jescze nie było
5. geometria łatwiejsza niż dzisiejsza
6. pewnie jakiś mix w stylu wielomian+teoria liczb albo sama teoria liczb
powodzenia!!-- 13 lutego 2009, 18:08 --i jeszcze jedno. Tegoroczny II etap mi się podoba. Zadania są nietypowe. Uczą myślenia, a nie korzystania ze schematów.

[tkrass]

michaln90, indukcja ma to do siebie, że nie wystarczy znać definicji, ale trzeba jeszcze używać sprytu przy jej stosowaniu.

[Dargi]

Ja doszedłem do takiej postaci że \(\displaystyle{ (2b_2-1)(2b_3-1)...(2b_n-1) \le 2b_2b_3...b_n -1}\)

Gdzie \(\displaystyle{ b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}}\) \(\displaystyle{ b_n\in(0;1>}\)

-- 13 lutego 2009, 18:47 --

Zastanawiałem sie czy jest jakieś twierdzenie które mówi że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(a_i-c) \le \prod_{i=1}^{n}(a_i)-c}\) dla \(\displaystyle{ a_i\in(0;1>}\)

[Swistak]

michaln90 - właśnie kiedy zacząłem robić indukcją dla ułatwienia wprowadziłem sobie taki ciąg, który ty opisałem jako ciąg b i coś z tym przkeombinowałem i mi nie wyszło przez jakiś błąd rachunkowy .
Poza tym dobry z matmy jesteś, a latexa nie umiesz używać . Domyślam się, że b2 u Ciebie oznacza \(\displaystyle{ b^{2}}\)?

[gribby]

Indeks dolny nie górny.

[Swistak]

Tzn. chodziło mi o zad 2 :].

[Piotr Rutkowski]

No, skoro już wrzucacie rozwiązania...
Wzorcówka do 1 jest indukcją, ale wg mnie jest beznadziejna

Moje rozwiązanie:    

Niech \(\displaystyle{ x_{i}=\frac{a_{i}}{a_{i+1}}}\) oraz \(\displaystyle{ q=\frac{a_{1}}{a_{n}}}\)
Wtedy nierówność sprowadzamy do postaci \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n-1}(2-x_{i})\geq 2-q=2-\prod_{i=1}^{n-1}x_{i}}\)
Z założenia \(\displaystyle{ x_{i}\geq}\)
Oczywisty lemacik \(\displaystyle{ \forall_{a,b\geq 1} \ ((2-a)(2-b)\geq 2-ab)\iff ((a-1)(b-1)\geq 0)}\)
i finito (stosujemy lemat \(\displaystyle{ n-2}\) razy do lewej strony).

Tak btw. jestem zaskoczony, że tak mało osób robiło tak jak ja (u nas tylko ja)
Za rozwiązanie 1 "bez modułów" będzie raczej pewne 0 niestety
2 mam dokładnie jak we wzorcówce (ktoś robił inaczej?)
3 nie ruszyłem pomimo spędzenia więcej niż połowy całego czasu na nim...

[gribby]

Sorry Swistak, zapewne masz rację