Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
w sumie 1 zadanie mogłoby być dość trudną teorią liczb, aby próg był 16-18, to by było fajnie, a że żadnego ciekawego zadania z teo nie znalazłem to wyszły darmowe 6 pkt. według mnie 2 zadanie było proste, ogólnie prosta geometria, w 3 dużo osób mogło pisać historyjki mało mające wspólnego z rozwiązaniem, w 4 trzeba wpaść i koniec, 5 nic szczególnego, 6 jest hard-corowe tak jak to jest z 6 zadaniami, nawet przez rozwiązanie nie mogę przebrnąć ale wydało mi się oryginalne i zamieściłem
Sylwek może dzis wieczorem wrzuci, ale szablewskil na pewno nikt sie nie pogniewa jesli go uprzedzisz (wiem ze co innego robic zadania a co innego je zamieszczac ale warto wyjsc z inicjatywą )
Ja się przyznam, że się boję czegoś takiego jak rok temu. Mi na II etapie wystarczy z geometrii jedno zadanie (a może nawet połowa ).
4.:
Co do nierówności nie chce mi się jakoś bardzo wnikać, ale poza tym standardowym rozwiązaniem wykorzystującym \(\displaystyle{ (a-1)^{2}\geq 0}\) rozwiązanie "na pałę" też powinno przejść.
Po standardowym podstawieniu: \(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{xy}{x^{2}+2y^{2}}\leq 1}\)
No i teraz dla uproszczenia bierzemy \(\displaystyle{ z=1}\) wymnażamy i co wyjdzie? Pewnie tak też by poszło.
(Bez założenia z=1 jest bardzo cięzko, wychodzi nierówność na wpół symetryczna).
Co do 6, to czy ktoś podchodził do niego na poważnie? Nie wygląda na przesadnie skomplikowane.
Zacząłbym jakoś tak:
6.:
Zdefiniujmy ciąg \(\displaystyle{ c_{n}}\) jako ciąg wyrażający liczbę złożoną z n ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ 2^{5^{n}}=u_{n}}\)
Mamy \(\displaystyle{ \frac{u_{n}-c_{n}}{10^{n}}\equiv a_{n} \ (mod10)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ c_{n}\equiv 2 \ (mod10)}\)
Czyli dla jakiegoś okresu k mielibyśmy \(\displaystyle{ \frac{u_{n+k}-c_{n+k}}{10^{n+k}}\equiv \frac{u_{n}-c_{n}}{10^{n}} \ (mod10)}\) \(\displaystyle{ 10^{n+k+1}|(u_{n+k}-10^{k}u_{n}-c_{n+k}+10^{k}c_{n})}\) dla każdego n
Wstawiając \(\displaystyle{ n=0}\) otrzymamy \(\displaystyle{ a_{k}=3}\)Nie chce mi się tego dopracowywać, ale widać też kilka innych ciekawych rzeczy.
Ostatnie n cyfr liczb \(\displaystyle{ u_{n},u_{n+1},...}\) są takie same.
Dowód:
Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ 10^{n}|u_{n+1}-u_{n}}\) (dlaczego ) \(\displaystyle{ u_{n+1}-u_{n}=2^{5^{n+1}}-2^{5^{n}}=2^{5^{n}}(2^{4*5^{n}}-1)}\)
Jako, że \(\displaystyle{ 10^{n}=2^{n}*5^{n}<2^{5^{n}}*5^{n}}\) wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ 5^{n}|2^{4*5^{n}}-1}\), co jest prawdą, bo \(\displaystyle{ \varphi (5^{n})=5^{n}-5^{n-1}=4*5^{n-1}}\), więc \(\displaystyle{ 5^{n}|2^{4*5^{n-1}}-1}\) a tym bardziej \(\displaystyle{ 5^{n}|2^{4*5^{n}}-1}\), co kończy dowód
Czyli z tego otrzymujemy \(\displaystyle{ c_{n+1}=c_{n}+10^{n}a_{n}}\)
Teraz mi się zdaje łatwo byłoby pociągnąć
Załóżmy, że istnieje taki kwadrat, pokolorujmy niektóre pola płaszczyzny tak jak na rysunku. Każdy kwadrat 3 x 3 oraz 4 x 4 zajmuje parzystą ilość pokolorowanych pól. W kwadracie 2 x 2 znajduje się natomiast nieparzysta ilość pokolorowanych pól. Jeżeli każda zmiana kolorów zmienia parzystą liczbę pokolorowanych pól oraz wszystkie pokolorowane pola w kwadracie 2 x 2 zmienią się, to na zewnątrz kwadratu 2 x 2 zmieniła się nieparzysta ilość pokolorowanych pól, czyli co najmniej jedno pole będzie zmienione nieparzystą ilość razy. Sprzeczność.
PS. zgromadziłem mocniejszy zestawik na II etap, także jak nikt nie pokusi się ze wrzuceniem to go jutro umieszczę
Aha... no to miałem prawie dobrze to 3, brakło jednego zdania. Może 2 punkty by było.
3.:
Po prostu przypuszczasz, że ten konkretny zaznaczony kwadrat można przemalować na inny kolor (bo można wybrać dowolnie), ja próbowałem udowodnić dla całej płaszczyzny od razu. No to przypomnę moje pokolorowanie, bo wyrzuciłem pospiesznie swoje rozwiązanie co by się nikt nie sugerował, a tu jednak nie było tak źle. No to przypuszczamy, że pewien kwadrat, dla ustalenia uwagi ten obramowany, da się tak "przemalować", kolorujemy:
AU
2yno0v5.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 129 razy
I dalej to samo co we wzorcówce. Przy okazji to pokolorowanie ze wzorcówki jest mocno hardkorowe
P.S. Nie ma to jak w 6. przeczytać "na \(\displaystyle{ n+1}\) miejscu od LEWEJ", wówczas zadanie się "lekko" utrudnia xD
P.S.2. Binaj, jak masz jakiś nowy zestaw to wrzucaj, bo na razie nie mam pomysłu na żadne fajne zadania na próbny II etap
Bo kwadrat przesunięty o jednostkę w prawo już nie ma nieparzystej ilości pól niebieskich. Dobieramy pokolorowanie do kwadratu - wtedy ładnie wyjdzie. Gdy spróbujemy dobrać kwadrat do pokolorowania - wtedy już ładnie nie wyjdzie.
