Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"

owen1011 · Post autor: **owen1011** » 11 lut 2009, o 20:40

Rozwiazalem zadania z 1 i 2 etapu ubieglorocznego diamentu...

Ale mam ogromne problemy z rozwiazaniem nawet pojedynczego zadania z 3 etapu

Mozecie zamiescic wskazowki do poszczegonych zadan z tego 3 etapu, a najlepiej cale rozwiazania?

bede wdzieczny

pozdrawiam

gribby · Post autor: **gribby** » 11 lut 2009, o 23:21

Głupi błąd, w wykładniku pod pierwszym pierwiastkiem napisałem na kartce 3x zamiast 3^x:/-- 11 lutego 2009, 23:25 --Pozwolę sobie zatem dodać zadanie, coś łatwego na rozruszanie tematu:

W narożniku kwadratowego arkusza blachy o boku 2a wycięto kwadraty. Następnie zlutowano brzegi i powstało prostopadłościenne pudełko bez pokrywki.
a)Jaka jest długość boku każdego z wyciętych kwadratów (jednakowych), aby powierzchnia pudełka była najmniejsza?
b) Jaka powinna być długość boków wyciętych kwadratów, by pudełko miało możliwie największą objętość?

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 12 lut 2009, o 15:42

a) Nie do końca chyba rozumiem to zadanie... Po wycięciu te boki zawijamy i lutujemy, a te wycięte kwadraty wyrzucamy, tak? Jeżeli dobrze to zinterpretowałem, to podpunkt a jest troche dziwny. Jeżeli wytniemy kwadraty o bokach długości bardzo bliskiej a, to pole powierzchni będzie najmniejsze, bo bliskie zeru....
b)
x-bok kwadratu wyciętego
\(\displaystyle{ V=(2a-2x)^{2} \cdot x}\)
Jak to pociągnąć dalej?

gribby · Post autor: **gribby** » 12 lut 2009, o 15:58

a) Dobrze zinterpretowałeś, jednak nie rozumiem Twojego rozumowania:

jeżeli wytniemy kwadraty o bokach długości bardzo bliskiej a, to pole powierzchni będzie najmniejsze, bo bliskie zeru....

Czemu tak?
Pytanie jest o całe pole powierzchni, dobry rysunek powinien załatwić sprawę.
b) Myślałem, że to standard.
Początek dobry.
Gdy juz uzależnisz x od a, zastanów się czy oba rozwiązania pozwolą na zbudowanie takiego pudełka. Dalej powinieneś już sobie poradzić.

timon92 · Post autor: **timon92** » 12 lut 2009, o 16:03

na mocy nierówności średnia geometryczna-arytmetyczna:
\(\displaystyle{ V=(2a-2x)^{2} \cdot x =16 \cdot \frac{a-x}{2} \cdot \frac{a-x}{2} \cdot x \le 16 \cdot ( \frac{a-x}{2} + \frac{a-x}{2} + x )^3=16a^3}\)
, przy czym równość zachodzi dla \(\displaystyle{ \frac{a-x}{2}=x}\), czyli dla \(\displaystyle{ x= \frac{a}{3}}\)

gribby · Post autor: **gribby** » 12 lut 2009, o 16:07

Dobrze.

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 12 lut 2009, o 16:21

No ale jak wytniemy prawie cały kwadrat, to nie będzie z czego składać:D

gribby · Post autor: **gribby** » 12 lut 2009, o 16:27

Ja twierdzę, że nie mam wyobraźni, a Ty to już całkiem.
Jak wytniesz cały kwadrat nie utworzysz takiego pudełka! Narysuj sobie kwadrat, w każdym z jego czterech narożników po jednym małym, odcinasz je, te części, które zostały zaginasz, powstaje Ci opisane pudełko, pokombinuj z długościami (nigdy nie bawiłeś się ot kartką papieru? jakieś origami? pewnie same samochody ;p)

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 12 lut 2009, o 16:29

timon92 pisze:na mocy nierówności średnia geometryczna-arytmetyczna:
\(\displaystyle{ V=(2a-2x)^{2} \cdot x =16 \cdot \frac{a-x}{2} \cdot \frac{a-x}{2} \cdot x \le 16 \cdot ( \frac{a-x}{2} + \frac{a-x}{2} + x )^3=16a^3}\)
, przy czym równość zachodzi dla \(\displaystyle{ \frac{a-x}{2}=x}\), czyli dla \(\displaystyle{ x= \frac{a}{3}}\)

jak zastosowałes AM>=GM to ja nie widze czy Ty zapomniałes o podzieleniu wyrazenia z arytmetycznej przez 27?-- 12 lutego 2009, 16:34 --wlasnie sobie wycinam:d i jezeli wytniemy 4 kwadraty, kazdy o boku x=0,5a, a w drugim x=0,8a, to przeciez drugie bedzie mniejsze. i tak coraz mniejsze, az w koncu zostanie nam taka malutka pipeczka:d

gribby · Post autor: **gribby** » 12 lut 2009, o 19:20

kazdy o boku x=0,5a, a w drugim x=0,8a, to przeciez drugie bedzie mniejsze

i o to chodzi
Robiłeś jakieś zadania optymalizacyjne? bo piszesz jakbyś nie miał z takimi do czynienia.

az w koncu zostanie nam taka malutka pipeczka

Twoim zdaniem, jak to ująłeś ta "malutka pipeczka" będzie jeszcze prostopadłościanem bez pokrywki?-- 12 lutego 2009, 19:27 --Tak się teraz zastanawiam, bo znałem podobne zadanie, możliwe że coś źle sformułowałem. Trzeba napisać wzór funkcji i sprawdzić czy on w ogóle osiąga minimum.

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 12 lut 2009, o 20:45

I o tym ciągle mówię!
\(\displaystyle{ P_{p}=(2a-2x)^{2}+4 \cdot (2a-2x) \cdot x}\)
Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2} \ wynosi \ -7}\), więc ta funkcja (kwadratowa oczywiście) nie przyjmuje minimum. Można jedynie szukać wartości największej...
Teraz mnie rozumiesz czy ja ciągle jestem w błędzie? :d

kolanko · Post autor: **kolanko** » 12 lut 2009, o 21:23

a ja idiota szukalem bledy w swoim rozumowaniu ... czemu nie moge znalezc minimum a jego nie ma <lol>

gribby · Post autor: **gribby** » 12 lut 2009, o 23:54

to poprawiam na największy ;p
I mędrcy się mylą Przepraszam za kłopot.

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 13 lut 2009, o 16:38

Luzik. W ramach rekompensaty wrzuć następne zadanko:d

gribby · Post autor: **gribby** » 13 lut 2009, o 18:28

Zawsze jak trzeba to wszystkie ciekawe i bardziej skomplikowane zadania się zapomina...

W stożek o promieniu podstawy R i kącie nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy \(\displaystyle{ \alpha}\) wpisano ciąg kul, w ten sposób, że pierwsza kula jest wpisana w stożek, zaś każda następna jest styczna zewnętrznie do poprzedniej i do stożka oraz jej środek leży na osi stożka. Wyznacz sumę objętości tego ciągu kul.