IX (9) OMG - I etap.

[bakala12]

Można poprosić o treść???
EDIT:: hahaha

[gus]

Wyszedlem 40 min. przed czasem, nie moglem wziac kartki, ale zaraz postaram sie z pamieci wypisac-- 15 mar 2014, o 14:49 --Coś takiego:
1. Danych jest pięć liczb rzeczywistych dodatnich. Iloczyn dowolnych dwóch jest mniejszy od iloczynu pozostałej trójki. Wykaż, że każda z liczb jest większa od 1.
2. Dany jest trójkąt ABC w którym \(\displaystyle{ AC=8, BC=10}\). Środek odcinka AB oznaczono przez punkt M. Punkt M jest środkiem okręgu o promieniu 1. Wykaż, że istnieje dokładnie jeden punkt P na okręgu, że \(\displaystyle{ \angle APC= 90}\).
3. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\). \(\displaystyle{ 4ab}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a^2+b^2}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a=b}\).
4. Dany jest 100-kąt foremny. Wybrano 51 wierzchołków tego wielokąta. Udowodnij, że wśród wybranych wierzchołków istnieją wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego.
5. Czy istnieje taki wielościan, z którego każdego wierzchołka wychodzą przynajmniej 4 krawędzie i istnieje przekrój przechodzący przez jego ściany, w wyniku którego otrzymujemy trójkąt?

[porfirion]

Ad. 5: No cóż. Tym razem tw. OMG zawiodło. Widać potrzeba je doprecyzować, sprawdzić szczególne przypadki, czy coś.

[gus]

Ad. 5: No cóż. Tym razem tw. OMG zawiodło. Widać potrzeba je doprecyzować, sprawdzić szczególne przypadki, czy coś.

Co masz na myśli?

[ElEski]

Lol, te zadania to jest jakiś żart ? Dobra dobra, pewnie i tak bym miał lau 4 stopnia

[bakala12]

Ad. 5: No cóż. Tym razem tw. OMG zawiodło. Widać potrzeba je doprecyzować, sprawdzić szczególne przypadki, czy coś.

Co masz na myśli?

Zapewne stwierdzenie, że:

w każdym zadaniu na OMG zaczynającym się od słów: "Czy istnieje..." odpowiedź brzmi "Tak, istnieje".

[Beren]

Ja mam 4 pierwsze zadania ( 1, 2 - banał, 3 średnie, 4 - zasada szufladkowa) prawie na pewno dobrze, a co do 5 (edit: gus nie dodałeś, że wielościan ma być wypukły) to napisałem, że nie istnieje, ale dowód to mam nie lepszy niż gusa (trochę takie lanie wody).

No i was zdziwię, że na omówieniu zadań, jedyne rozwiązania zadania 5 jakie padały to przykłady wielościanów, a nie dowody na ich nieistnienie... Wprawdzie pan prowadzący omówienie i pan Pompe nie dawali komentarzy czy rozwiązania są prawidłowe, więc ja nie potrafię do tej pory odpowiedzieć czy istnieją czy nie. Widziałem kilka przykładów, ale co do większości mogę stwierdzić z łatwością, że są one wklęsłe (niezgodne z warunkami), a innych nie chciało mi się jeszcze rozpatrywać. No w skrócie mówiąc dziwna sytuacja...

[gus]

Jak zrobiles 3 i 4? Ja w trzecim doszedlem do wniosku, ze \(\displaystyle{ 2ab=a ^{2}+b ^{2}}\)

[kaszubki]

Ej, w piątym serio wychodzi, że taki wielościan nie istnieje? Bo ja sobie na kartce narysowałem i wygląda na całkiem wypukły. Oczywiście mogę się mylić, dawno tej matmy nie robiłem.

[Beren]

Co do zadania trzeciego to ja mam w ten sposób:

Z nierówności miedzy średnimi dla dodatnich liczb całkowitych mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ a^{2} + b^{2} }{2} \ge ab}\)
\(\displaystyle{ 4ab \le 2\left( a^{2}+ b^{2} \right)}\)

A z warunków zadania wiemy, że:

\(\displaystyle{ 4ab = k\left( a^{2} + b^{2} \right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ k=2}\) lub \(\displaystyle{ k=1}\)

Gdy \(\displaystyle{ k=2}\) to dostajemy tezę \(\displaystyle{ a=b}\)

Natomiast gdy\(\displaystyle{ k=1}\) to z równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ a^{2} - 4b*a + b ^{2} =0}\)

dostajemy że a lub b są niewymierne, zatem ten przypadek odpada.

Będę wdzięczny jak ktoś skomentuje co o tym sądzi

[gus]

A co z \(\displaystyle{ k \neq 1,2}\)? Czemu nie wziales tego pod uwage?
Wzorcowka pewnie bedzie taka: Jesli \(\displaystyle{ 4ab>a ^{2} + b^{2}}\), to ktorys z czynnikow liczby \(\displaystyle{ 4ab}\) jest podzielny przez sume kwadratow. Wychocdzi nierownosc \(\displaystyle{ 2ab \ge a ^{2} +b ^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ a=b}\)

[Zahion]

\(\displaystyle{ k( a^{2}+b ^{2}) = 4ab}\). Z nierówności \(\displaystyle{ 4ab \le 2\left( a^{2}+ b^{2} \right)}\) wynika fakt, że \(\displaystyle{ k \le 2}\) ale my wiemy, że \(\displaystyle{ k \in C}\) więc dlaczego odrzucasz od razu wszystkie liczby całkowite ujemne \(\displaystyle{ k}\) ? Nie wiem czy jest to do końca poprawne, natomiast jakbym miał to zrobić podobnie do Ciebie to wyglądałoby to tak :
Zakładamy, że \(\displaystyle{ a,b \neq 0}\). Z równości \(\displaystyle{ k( a^{2}+b ^{2}) = 4ab}\) podkładając za
\(\displaystyle{ x = \frac{a}{b}}\) i przekształcając mamy, że \(\displaystyle{ kx ^{2}-4x+k=0}\) Licząc deltę mamy warunek, że \(\displaystyle{ k \in {-2,-1,1,2}}\), sprawdzając kolejno mamy, że \(\displaystyle{ k=2}\) spełnia warunek i zachodzi \(\displaystyle{ a = b}\) Oczywiście jeśli jedna z liczb się zeruje to druga też.

[Beren]

A co z \(\displaystyle{ k \neq 1,2}\)? Czemu nie wziales tego pod uwage?

więc dlaczego odrzucasz od razu wszystkie liczby całkowite ujemne

gus nie napisał, ale w warunkach zadania było, że liczby a,b są całkowite DODATNIE


jeśli wiemy, że k dzieli liczbę \(\displaystyle{ 4ab}\) to k nie może być ujemne ani równe 0 - przecież rozmawiamy o liczbach całkowitych dodatnich, k nie może być dzielnikiem ujemnym...
A z nierówności miedzy średnimi wykazuję przecież, że:

\(\displaystyle{ 4ab \le 2\left( a^{2}+ b^{2} \right)}\)

czyli \(\displaystyle{ k \le 2}\)

Stąd twierdzę, że należy jedynie wykluczyć przypadek, że \(\displaystyle{ k=2}\) licząc deltę i obliczając pierwiastki równania kwadratowego, a z przypadku \(\displaystyle{ k=1}\) wynika teza.

[Zahion]

Masz racje, natomiast ja robiłem zadanie z warunkiem"Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\)", więc ciężko mi się domyślić, że miałyby one być dodatnie. Stąd jeśli \(\displaystyle{ a,b>0}\) to rozwiązanie masz poprawne.

[Beren]

No i jak nikt się nie pochwali znalezionym wielościanem z zadania 5?
Albo jakimś sensownym dowodem, na to że taki nie istnieje (chociaż osobiście coraz mniej wierzę w tę opcję)