[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[cyberciq]

To zadania nowe z kongruencji idzie pokazać na 2 linijki góra.

[laurelandilas]

Dobra dam nowe zadanie troszeczke trudniejsze: Dane sa liczby całkowite dodatnie:
\(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < .... < a_{2003}}\) Udowodnij, ze mozna wybrac z nich liczby \(\displaystyle{ a_{n0} < a_{n1} < ... < a_{n44}}\) takie, ze kazda z roznic \(\displaystyle{ a_{n1} - a_{n0}; a_{n2} - a_{n1} .. a_{n44} - a_{n43}}\) jest podzielna przez 44

[Vax]

Ukryta treść:    

Wystarczy zauważyć, że spośród 2003 liczb naturalnych przynajmniej 45 liczb daje taką samą resztę z dzielenia przez 44, a różnica liczb dających taką samą resztę z dzielenia przez 44 jest podzielna przez 44, cnd.

Kolejne:

Wykaż, że jeżeli w trójkącie o bokach a,b,c i polu 1 zachodzi \(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\) to \(\displaystyle{ b\ge \sqrt{2}}\)

Pozdrawiam.

[LisuBB]

muszę pokazać, że :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}c - 1 \ge 0 \\ b^{2}a - 1 \ge 0 \\ c^{2}b - 1 \ge 0 \end{cases}}\)
Przenosząc -1 na drugie strony nierownosci i mnozac stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (abc)^{3} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge 1}\)
co jest prawda, a stad wynika teza.

Tak nie możesz. Z faktu, że \(\displaystyle{ xyz \geq 1}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1}\).

[laurelandilas]

Lisu, wychodzę od tego, że \(\displaystyle{ x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1}\), a z tego juz wynika, ze \(\displaystyle{ xyz \ge 1}\), wiec uwazam, ze jest ok. Jezeli myslisz, ze jest blad to pokaz go konkretnie w rozwiazaniu

[KPR]

Nie. Robisz odwrotnie.

[Vax]

@laurelandilas jest źle. Nie można zakładać sobie poprawności tezy. Można to pokazać na prostym przykładzie, załóżmy, że poniższe 3 nierówności są prawdziwe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2>3\\ 5>1 \\6>4 \end{cases}}\)

Po pomnożeniu stronami mamy \(\displaystyle{ 60>12}\), więc jest ok, jednak zauważ, że 1 nierówność jest fałszywa.

Pozdrawiam.

[KPR]

Tak poza tym tematem:

ujednorodnijmy; abc=1

To nie jest ujednorodnienie, wręcz przeciwnie.

[Vax]

To może pokażę jeden ze sposobów, jak można tamto zadanie zrobić:

Ukryta treść:    

Wystarczy zauważyć, że z am-gm mamy:

\(\displaystyle{ \frac{14\frac{a^3}{b^2}+3\frac{b^3}{c^2}+2\frac{c^3}{a^2}}{19} \ge \sqrt[19]{\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^{14}\cdot \left(\frac{b^3}{c^2}\right)^{3}\cdot \left(\frac{c^3}{a^2}\right)^{2}} = \frac{a^2}{b}}\)

Dodając tą, oraz 2 podobne nierówności otrzymujemy tezę.

Pozdrawiam.

[laurelandilas]

Zadanie Vaxa:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} bc sin \alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ bcsin \alpha = 2}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{2}{c*sin \alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha \le 1}\)
\(\displaystyle{ c \le b}\)
Pokaze, ze gdy \(\displaystyle{ sin \alpha =1}\) to \(\displaystyle{ b = \sqrt{2}}\), a gdy \(\displaystyle{ sin \alpha < 1}\) to \(\displaystyle{ b> \sqrt{2}}\)
Gdy sinalpha = 1, to \(\displaystyle{ b = \frac{2}{c}}\). \(\displaystyle{ bc=2}\)\(\displaystyle{ b \ge c}\), a równosc zachodzi dla b=c.
Podobnie pokazuje sie, gdy b wiekszy od pierwiastka z 2.
Sorry za brzydkie rozwiazanie, ale wolalem samemu to zrobic niz przepisywac z Krowy.

Cos hardego:
Dana jest liczba całkowita dodadnia n oraz liczba pierwszap, że liczba \(\displaystyle{ n ^{4} + 1}\) jets podzielna przez \(\displaystyle{ p^{2}}\). Udowodnij, ze istnieja takie liczby calkowite dodatnie a,b, że \(\displaystyle{ a \le b < p}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a^{4} + b^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p^{2}}\)

[Vax]

edit// A nie, jednak wszystko jest ok

Pozdrawiam.

[jerzozwierz]

Naprawdę już nie macie co robić w wigilię?

[laurelandilas]

"Jaka wiglia taki caly rok", czyli bedziemy napieprzac zadania z matmy przez 365 dni ;d

[SaxoN]

Trzeba przyznać, że to zadanie było ostre jak miecz samurajski

Po pierwsze zauważmy, że \(\displaystyle{ (p^2,n)=1}\). Niech \(\displaystyle{ S=\{nx-y\colon 0\leq x,y<p; x,y\in\mathbb{Z}\}}\) będzie multizbiorem. Ponieważ moc tego multizbioru wynosi \(\displaystyle{ (p+1)^2>p^2}\), z zasady szufladkowej Dirichleta mamy, że istnieją różne pary uporządkowane \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_2,y_2)}\) takie, że \(\displaystyle{ nx_1-y_1\equiv nx_2-y_2 \pmod{p^2}}\), czyli \(\displaystyle{ n(x_1-x_2)\equiv y_1-y_2 \pmod{p^2}}\). Niech \(\displaystyle{ a=|x_1-x_2|}\) oraz \(\displaystyle{ b=|y_1-y_2|}\) - otrzymamy \(\displaystyle{ na\equiv \pm b\pmod{p^2}}\). Ponieważ pary \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_2, y_2)}\) były różne, co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) nie jest zerem, a zatem druga też nie, ponieważ \(\displaystyle{ n\not\equiv 0 \pmod{p^2}}\). Jest również \(\displaystyle{ a,b<p}\) z uwagi na \(\displaystyle{ a=|x_1-x_2|\leq\max\{x_1,x_2\}<p}\) (analogicznie dla \(\displaystyle{ b}\)). Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ n^4\equiv -1\pmod{p^2}}\) co ostatecznie da nam tezę: \(\displaystyle{ na\equiv \pm b\pmod{p^2}\Rightarrow b^4\equiv n^4a^4\equiv -a^4\pmod{p^2}}\), czyli \(\displaystyle{ a^4+b^4\equiv 0\pmod{p^2}}\), a to oznacza, że liczby \(\displaystyle{ a, b}\) spełniają tezę zadania.

[laurelandilas]

Gratuluję i dzieki za rozwiazanie.
Saxon, daj zadanie