Problem z liczbą 0,(9)

[luka52]

A co do liczby 0,(9) - czy nie znajdzie się jakiś zmęczony dyskują moderator żeby zamknąć temat?

Myślę, że dużo osób jest zmęczonych tym tematem. Jednek.... nie sądze by zamknięcie tematu coś zmieniło - zaraz zaczęły by powstawać nowe... (choć i tak powstają od czasu do czasu).

[Vercetti]

A to czy w takim razie 1,(9) = 2??

[spajder]

tak

[Elayne]

Jeśli jakieś działanie daje poprawny wynik nie oznacza to że działanie jest poprawne. Na wiki [] jest podany dowód algebraiczny:

\(\displaystyle{ x=0,999...}\)
\(\displaystyle{ 10x=9,999...}\)
\(\displaystyle{ 10-x=9.999...-0,999....}\)
\(\displaystyle{ 9x=9}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)

Przypuszczam że mógłbym to w pewnym stopniu zakwestionować na dwa różne sposoby: graficznie w kartezjańskim układzie współrzędnych oraz algebraicznie. Skupię się na tym drugim rozwiązaniu. Mnożenie możemy przedstawić jako \(\displaystyle{ a \cdot b=c}\). Miejmy jednak na uwadze fakt że każde mnożenie jest działaniem na liczbach podniesionych do potęgi drugiej i możemy to przedstawić na kilka różnych sposobów, np. w ten sposób:
\(\displaystyle{ b^2-(b-a) \cdot b=c}\)

dla \(\displaystyle{ x=9}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 9^2-(9-0,999...) \cdot 9=8,999...}\) a to chyba nie równa się \(\displaystyle{ 9}\) jak jest to w dowodzie???

[AiDi]

To JEST równe dokładnie 9. Kwestionowanie nic nie da.

[wszamol]

\(\displaystyle{ 9^2-(9-0,999...)*9=8,999...}\) a to chyba nie równa się 9 jak jest to w dowodzie???

Przecież tu nic nie udowodniłeś, bo nadal masz nieskończoną liczbę dziewiątek po przecinku, więc problem pozostaje otwarty... a nie, przepraszam, problem nie jest otwarty, bo jest masę znanych, poprawnych dowodów (z naciskiem na poprawnych), że \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\) . W nieskończoności intuicja często zawodzi, trzeba o tym pamiętać

[porfirion]

Najprostszy dowód z możliwych: \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 3=1 \wedge \frac{1}{3}=0.(3) \Rightarrow 0.(9)=1}\). Prawdziwości tego rozumowania nie można zaprzeczyć, choć wbrew intuicji nie kończy to jeszcze sprawy tej dziwnej liczby. Ktoś mógłby nagle podać całkowicie poprawny dowód na to, że \(\displaystyle{ 0.(9) \neq 1}\). Cóż z tego, że znaczyłoby to, że cała matematyka w jakiej babrze się ludzkość o kilku tysięcy lat jest wewnętrznie sprzeczna? Osobiście nie chciałbym dożyć tego dnia...

[Jan Kraszewski]

Ktoś mógłby nagle podać całkowicie poprawny dowód na to, że \(\displaystyle{ 0.(9) \neq 1}\).

Nie mógłby.

JK

[porfirion]

Dlaczego nie? Skąd wiadomo, że używana przez nas arytmetyka nie jest wewnętrznie sprzeczna?

[Elayne]

Bym powiedział że jest to wynik przybliżony a a nie błąd czy sprzeczność. Spójrzmy na to z troche innej perspektywy. Rozpiszmy tabliczkę mnożenia według tego wzoru: \(\displaystyle{ b^2-(b-a)\cdot b}\). Zauważymy wtedy że tabliczka mnożenia jest oparta na dwóch różnych ciągach i każde mnożenie gdzie mnożnik i mnożna są liczbami nieparzystymi możemy zapisać jako odejmowanie dwóch liczb podniesionych do kwadratu, np: \(\displaystyle{ 3 \cdot 19=57}\) i \(\displaystyle{ 11^2-8^2=57}\). Zgodzimy się z chyba tym że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,9999...}\) są liczbami nieparzystymi wobec tego jeśli prawdziwe jest twierdzenie \(\displaystyle{ 0,999...=1}\)] to prawdziwe powinno być to:
\(\displaystyle{ 1^2-0^2=0,999...^2-0^2}\) - a tak nie jest.

[Majeskas]

wobec tego jeśli prawdziwe jest twierdzenie \(\displaystyle{ 0,999...=1}\)] to prawdziwe powinno być to:
\(\displaystyle{ 1^2-0^2=0,999...^2-0^2}\) - a tak nie jest.

Dlaczego?

[Jan Kraszewski]

Bym powiedział że jest to wynik przybliżony a a nie błąd czy sprzeczność.

To nie jest wynik przybliżony, tylko wynik sumowania nieskończonego szeregu geometrycznego.

JK

[AiDi]

wobec tego jeśli prawdziwe jest twierdzenie \(\displaystyle{ 0,999...=1}\)] to prawdziwe powinno być to:
\(\displaystyle{ 1^2-0^2=0,999...^2-0^2}\) - a tak nie jest.

No ale sęk w tym, że TAK JEST. Dlaczego taki opór wobec tego faktu?

[Elayne]

Po pierwsze, liczba \(\displaystyle{ 0,999...}\) dązy do wartości \(\displaystyle{ 1}\).
Po drugie liczby te mają inne "liczby siostrzane" [bo liczby te są różne]], a sytuacja jak wyżej opisana wynika z przyjęcia uproszczonego systemu liczenia bo tak wygodniej, prościej, szybciej, łatwiej i trudniej o pomyłkę w obliczeniach - weżmy podobny problem który wynika po części z podobnej przyczyny \(\displaystyle{ 10^0}\) równa się \(\displaystyle{ 1}\) a może poprawnym wynikiem jest \(\displaystyle{ 0}\), tego nie wiemy bo nie znamy kontekstu wyrażenia.
Po trzecie \(\displaystyle{ 1^2 \neq 0,999...^2}\)

[JakimPL]

Pytanie ontologiczne: czy liczba może dążyć do czegoś?