Kangur Matematyczny 2009

[Flieg]

Moje odpowiedzi (junior):
01)C
02)C
03)A
04)D
05)D
06)D
07)B (1, 2, 4)
08)B
09)E
10)B

11)E
12)B
13)C
14)C
15)A
16)D
17)C (powinno być D)
18)A
19)B (powinno być C)
20)E

21)E
22)B
23)C
24)A
25)B
26)C (180, 405) (btw podczas pisania stwierdziłem, że 3*45=225 xD)
27)A
28)B (strzelałem, ale jest dobrze)
29)E
30)E (2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 237, 373, 537) (podczas pisania znalazłem 10, w tym 27 xD, ale na szczęście 3-cyfrowe uratowały mi skórę

Czyli jeśli nie pominąłem żadnego błędu wychodzi 140/150

Edit:
Faktycznie, w 30. jest tylko 9 (D) :/
Ale i tak wynik 133,75 jest niezły

[pakk]

A mógłby mi ktoś pomóc z zadaniami nr: 8, 10, 11, 15, 21, 25, 26, 27 (wiem, że jeszcze k może przyjąć wartość -1, ale jak miałem na to wpaść? ), 28, 30.
Kategoria student.

[Nakahed90]

Zad 8
a-bok kwadratu
x- promień koła mniejszego
\(\displaystyle{ a\sqrt{2}=a+x+x\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ 1-\sqrt{2}=-x(1+\sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{1-\sqrt{2}}{-(1+\sqrt{2})}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=(1-\sqrt{2})^{2}}\)

Zad 10

Na każdym foremnym wielokącie można opisać okrąg, aby kąt wpisany w okrąg był prosty to musi być oparty na średnicy. W nieparzystym n-kącie foremnym, żaden odcinek łączący dwa wierzchołki nie będzie średnicą, czyli nie istnieje taki kąt.

Zad 11
\(\displaystyle{ P_{ACB}=P_{PQA}=P_{UCT}=P_{BRS}=1}\)
\(\displaystyle{ P_{PACU}=P_{AQRB}=P_{CTBS}=3P_{ACB}=3}\)
\(\displaystyle{ P_{PQRSTU}=13}\)

Zad 15
\(\displaystyle{ (1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+7^{2}-8^{2}+9^{2})-10^{2}+(11^{2}-12^{2}+13^{2}-14^{2}+15^{2}-16^{2}+17^{2}-18^{2}+19^{2})+... -2008^{2}+2009^{2}\equiv 201 \cdot (1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+7^{2}-8^{2}+9^{2}) \equiv 5(mod10)}\)

[majka3]

Czy ktoś może napisać jak rozwiązał zadanie 22 z Malucha:

W pola tabeli 3x3 wpisano liczby, jak poniżej. W jednym posunięciu możemy zamienić miejscami 2 dowolne liczby. Jaka jest najmniejsza liczba takich posunięć, aby otrzymać tabelę, w której suma liczb w każdym wierszu dzieli się przez 3?

4 | 5 | 1
-----------
8 | 10 | 4
-----------
7 | 1 | 2

[Dumel]

2 ruchy- zamieniamy piatke z 1 wiersza z czworka z drugiego, a potem dwojke z osemka

[lukaszczysz]

No to poszedł też beniamin (1godz. z przerwą na kolację i malucha)
BENIAMIN
1.D
2.B
3.B
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.C
10.E
11.C
12.C
13.D
14.E
15.D
16.C
17.B
18.E
19.D
20.C
21.C
22.B
23.C
24.E
25.C
26.C
27.D
28.B
29.A
30.A
Co do odpowiedzi nie jestem do końca pewien, więc prosiłbym kogoś o sprawdzenie i pokazanie błędów, ale uważam, że spokojnie można wziąć to jako dobre rozwiązanie.

na moje to w 28 poprawną odpowiedzią jest D. 20; wtedy tabelka wygląda tak:

12 8
20 4
24 16
40 8
48 32
80 16
96 64

[gwajda]

Czy można prosić o skany kangurka?

[giron]

No to już rozwiązałem malucha mojej siostry, a odpowiedzi (już sprawdzone) są takie:
MALUCH
1.E
2.C
3.B
4.A
5.B
6.B
7.C
8.D
9.C
10.D
11.A
12.B
13.B
14.D
15.B
16.A
17.E
18.D
19.B
20.D
21.A
22.B
23.E
24.B
Ostrzegam, że mógł tu się wkraść jakiś błędzik, robiłem to trochę na szybko i zajęło mi to jakieś 10 min, ale nie sądze żeby coś tu było źle.

1-23 zgoda,24.C

[ania_om]

Witam wszystkich. Napiszcie, jak policzyć wynik z malucha. Dzięki.

[giron]

Asterius Twoje górą 24.b

[Przemas O'Black]

Ja napisałem tak:
STUDENT

1B
2A
3B
4C
5E
6D
7C
8E
9D
10A

11D
12B
13B
14A
15E
16A
17B
18B
19D
20D

21E
22C
23B
24B
25C
26C
27A
28C
29D
30E

Razem 116,25p.

[ania_om]

2 ruchy- zamieniamy piatke z 1 wiersza z czworka z drugiego, a potem dwojke z osemka

No dobrze, zamieniłam - ale jest jeszcze warunek: suma liczb z wierszy ma się dzielić przez 3. A jeśli zamienię tak jak napisałaś to nie da rady.

[Swistak]

Moje odpowiedzi (junior):
30)E (2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 237, 373, 537) (podczas pisania znalazłem 10, w tym 27 xD, ale na szczęście 3-cyfrowe uratowały mi skórę

Czyli jeśli nie pominąłem żadnego błędu wychodzi 140/150

Zarówno 237 jak i 537 nie są pierwsze, gdyż obie dzielą się przez 3.
Niektórzy mogli też stwierdzić, że poprawną liczbą jest 737, lecz to się dzieli przez 11.

[GRZECH]

Do Majki.
Co do tego zadania z sumą liczb w wierszu podzielną przez 3 to:

4 5 1
8 10 4
7 1 2

To można było zamienić na przystające modulo 3.
Wtedy kwadracik wygląda tak:

1 -1 1
-1 1 1
1 1 -1

I teraz widać, że wszystkie -1 muszą być w jednym rzędzie. Czyli trzeba zamienić dwie pary liczb.
Które? To już sobie można wybrać . Pytanie tylko czy gościu z podstawówki miał prawo wpaść na takie rozwiązanie .

Do pakk.
Zadania nr 8, 10, 11 i 15 wyjaśnił już Nakahed90.

Zadanie nr 21.
W środek wpisujesz niewiadomą \(\displaystyle{ b}\).
Zakładasz, że w całej linii ma być suma równa \(\displaystyle{ x}\).
Wtedy:
1) w lewym środkowym kwadraciku ma być \(\displaystyle{ x-b-47}\),
2) w lewym dolnym kwadraciku ma być \(\displaystyle{ b+47-a}\),
3) w prawym dolnym kwadraciku ma być \(\displaystyle{ x-a-b}\).
I teraz dla dolnej linii sprawdzasz:
\(\displaystyle{ b + 47 + 63 - a + x - a - b = x}\)
x i b się skracają i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2a = 110}\)
Stąd: \(\displaystyle{ a = 55}\)

Zadanie nr 25.
Jakby Ci to wyjaśnić? Rozpisałem po prostu wszystkie i wyszło .
Nie zastanawiałem się póki co jak to zrobić bez podanych możliwości odpowiedzi .

Zadanie nr 26.
Oznaczmy przez A punkt przecięcia prostej równoległej do prostej ML i przechodzącej przez punkt N z bokiem KL.
Oznaczmy przez A' punkt przecięcia prostej równoległej do prostej ML i przechodzącej przez punkt N z bokiem JM.
Oznaczmy przez B punkt przecięcia prostej równoległej do prostej JM i przechodzącej przez punkt N z bokiem ML.
Oznaczmy przez B' punkt przecięcia prostej równoległej do prostej JM i przechodzącej przez punkt N z bokiem JK.
Oznaczmy długość odcinka ML przez x, a długość odcinka KL przez y.

Zauważmy, że czworokąt JB'NA' to kwadrat o boku długości \(\displaystyle{ y-1 = x-8}\).
Stąd \(\displaystyle{ x = y+7}\).
Policzmy na dwa sposoby pole trójkąta KLM.
Z jednej strony jest to \(\displaystyle{ xy/2}\).
Z drugiej jednak pole trójkąta KLM to suma pól trójkątów AKN i BNM oraz prostokąta ALBN.
Jest ona równa: \(\displaystyle{ 8 + \frac{ 1*(x-8)}{2} + \frac{8*(y-1)}{2}}\)
Porównując pola (pomnożyłem przez dwa, żeby nie było ułamków ) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ xy = x + 8y}\)
Podstawmy za \(\displaystyle{ x = y+7}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ (y+7)*y = 9y + 7}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ y^2 - 2y -7 = 0}\)
\(\displaystyle{ y = 1+2 \sqrt{2}}\)
Stąd: \(\displaystyle{ x=8+2 \sqrt{2}}\)

Zadanie nr 27.
Wymnożyć np. pierwsze z drugim i pierwsze z trzecim. Wtedy masz:
\(\displaystyle{ ac+a^2 = b^2+bc}\) (1)
\(\displaystyle{ ab+a^2 = c^2+bc}\)
Odejmujesz stronami i wychodzi:
\(\displaystyle{ a(c-b)=b^2-c^2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a(c-b)=(b-c)(b+c)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a(c-b) + (c-b)(b+c)=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(c-b)=0}\)

Zakładasz, że:
\(\displaystyle{ b=c}\)
I podstawiając do równania (1) b zamiast c wychodzi Ci równanie kwadratowe postaci:
\(\displaystyle{ ab + a^2 = 2b^2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a^2 - ab - 2b^2 = 0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a=b=c \vee a=-2b=-2c}\)

Z jednego z nich wychodzi, że: \(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\).
Z drugiego, że: \(\displaystyle{ k=-1}\).

Natomiast teraz zakładasz, że: \(\displaystyle{ a+b+c=0}\)
Stąd: \(\displaystyle{ a=-(b+c)}\)
Podstawiając wychodzi Ci: \(\displaystyle{ k=-1}\).

Czyli k może przyjąć dwie różne wartości.

[ania_om]

Hejka czy ktoś napisze mi jak mam policzyć wyniki z malucha? Czy od liczby 120 mam odejmować błędne odpowiedzi? Jeśli tak, to czy ten wzór na 1 str. jest też aktualny dla malucha. Pomóżcie, już bym chciała wiedzieć, chociaż pi razy oko.
Pozdrówka