[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Niech \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, x\in \left(0, \frac{\pi}{2n}\right)}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((k+1)x)}{\sin(kx)}< 2\frac{\cos x}{\sin^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((k+1)x)}{\sin(kx)}< 2\frac{\cos x}{\sin^{2}x}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
To zadanie może nie jest typowe dla wątku (w którym rzadko pojawia się w zasadzie trygonometria, i trudno się dziwić). Jak można się dowiedzieć z imomath.com, jest to zadanie pierwsze z ukraińskiego TSE 1999 (część druga).Rocco Siffredi po zażyciu dodatkowej porcji viagry pisze:Za długo stoi…
rozwiązanie:
Nowe zadanie:
dla \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}}\) proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge 2\left(1+\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 9
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Po rozpisaniu dostajemy
\(\displaystyle{ 1+ \frac{y}{z}+ \frac{x}{y}+ \frac{x}{z}+ \frac{z}{x}+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{y}+1 \ge 2+ \frac{2(x+y+z)}{ \sqrt[3]{xyz} } }\)
Skracamy dwójkę
\(\displaystyle{ \frac{y}{z}+ \frac{x}{y}+ \frac{x}{z}+ \frac{z}{x}+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{y}+ \ge \frac{2(x+y+z)}{ \sqrt[3]{xyz} } }\)
Duża liczba ułamków sugeruje użycie ciągów monotonicznych a ponieważ występuje wyrażenie to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz}}\) to podstawmy
\(\displaystyle{ x= a^{3} }\)
\(\displaystyle{ y= b^{3} }\)
\(\displaystyle{ z= c^{3} }\)
Dostajemy wówczas
\(\displaystyle{ \frac{ b^{3} }{ c^{3} }+ \frac{ a^{3} }{ b^{3} }+ \frac{ a^{3} }{ c^{3} }+ \frac{ c^{3} }{ a^{3} }+ \frac{ b^{3} }{ a^{3} }+ \frac{ c^{3} }{ b^{3} }+ \ge \frac{2( a^{3}+b^{3}+c^{3} )}{ abc } }\)
Zapiszmy to w bardziej przejrzystej formie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{b^2}{c^2} & \frac{a^2}{b^2} & \frac{a^2}{c^2} & \frac{c^2}{a^2} & \frac{b^2}{a^2} & \frac{c^2}{b^2} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{b} & \frac{a}{c}& \frac{c}{a}& \frac{b}{a}& \frac{c}{b} \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{b^2}{c^2} & \frac{a^2}{b^2} & \frac{a^2}{c^2} & \frac{c^2}{a^2} & \frac{b^2}{a^2} & \frac{c^2}{b^2} \\ \frac{c}{a} & \frac{b}{c} & \frac{c}{b}& \frac{a}{b}& \frac{a}{c}& \frac{b}{a}\end{array}\right]}\)
Widzimy że po prawej stronie te dwa ciągi są zgodne monotonicznie więc dowolna permutacja dolnego ciągu z jaką mamy do czynienia po lewej stronie dowodzi prawdziwość nierówności dla \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{ R^{+} }}\)
Dodano po 1 godzinie 31 minutach 46 sekundach:
.
\(\displaystyle{ 1+ \frac{y}{z}+ \frac{x}{y}+ \frac{x}{z}+ \frac{z}{x}+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{y}+1 \ge 2+ \frac{2(x+y+z)}{ \sqrt[3]{xyz} } }\)
Skracamy dwójkę
\(\displaystyle{ \frac{y}{z}+ \frac{x}{y}+ \frac{x}{z}+ \frac{z}{x}+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{y}+ \ge \frac{2(x+y+z)}{ \sqrt[3]{xyz} } }\)
Duża liczba ułamków sugeruje użycie ciągów monotonicznych a ponieważ występuje wyrażenie to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz}}\) to podstawmy
\(\displaystyle{ x= a^{3} }\)
\(\displaystyle{ y= b^{3} }\)
\(\displaystyle{ z= c^{3} }\)
Dostajemy wówczas
\(\displaystyle{ \frac{ b^{3} }{ c^{3} }+ \frac{ a^{3} }{ b^{3} }+ \frac{ a^{3} }{ c^{3} }+ \frac{ c^{3} }{ a^{3} }+ \frac{ b^{3} }{ a^{3} }+ \frac{ c^{3} }{ b^{3} }+ \ge \frac{2( a^{3}+b^{3}+c^{3} )}{ abc } }\)
Zapiszmy to w bardziej przejrzystej formie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{b^2}{c^2} & \frac{a^2}{b^2} & \frac{a^2}{c^2} & \frac{c^2}{a^2} & \frac{b^2}{a^2} & \frac{c^2}{b^2} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{b} & \frac{a}{c}& \frac{c}{a}& \frac{b}{a}& \frac{c}{b} \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{b^2}{c^2} & \frac{a^2}{b^2} & \frac{a^2}{c^2} & \frac{c^2}{a^2} & \frac{b^2}{a^2} & \frac{c^2}{b^2} \\ \frac{c}{a} & \frac{b}{c} & \frac{c}{b}& \frac{a}{b}& \frac{a}{c}& \frac{b}{a}\end{array}\right]}\)
Widzimy że po prawej stronie te dwa ciągi są zgodne monotonicznie więc dowolna permutacja dolnego ciągu z jaką mamy do czynienia po lewej stronie dowodzi prawdziwość nierówności dla \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{ R^{+} }}\)
Dodano po 1 godzinie 31 minutach 46 sekundach:
.
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 9
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
NIech \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2} , x_{3} ...... x_{n}}\) należą do \(\displaystyle{ \mathbb R }\)
Udowodnić że zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{ x_{1} }{1+ x_{1} ^{2} }+\frac{ x_{2} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2} }+.......+\frac{ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} } < \sqrt{n} }\)
Udowodnić że zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{ x_{1} }{1+ x_{1} ^{2} }+\frac{ x_{2} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2} }+.......+\frac{ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} } < \sqrt{n} }\)
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
\(\displaystyle{ \frac{ x_{1} }{1+ x_{1} ^{2} }+\frac{ x_{2} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2} }+.......+\frac{ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} } \le }\)
\(\displaystyle{ \frac{ x_{1} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }+\frac{ x_{2} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }+.......+\frac{ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }=\frac{ x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }}\)
Równość zachodzi, jeżeli \(\displaystyle{ x_{2} = x_{3} =....= x_{n}=0}\)
Z nierówności pomiędzy średnią kwadratową, a arytmetyczną
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ 1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2}}{n} } \ge \frac{1 + x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} }{n} }\) więc
\(\displaystyle{ \sqrt{ n} \ge \frac{1 + x_{1} + x_{2} +...+ x_{n}}{ 1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} } >\frac{ x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }}\)
co należało dowieść
\(\displaystyle{ \frac{ x_{1} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }+\frac{ x_{2} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }+.......+\frac{ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }=\frac{ x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }}\)
Równość zachodzi, jeżeli \(\displaystyle{ x_{2} = x_{3} =....= x_{n}=0}\)
Z nierówności pomiędzy średnią kwadratową, a arytmetyczną
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ 1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2}}{n} } \ge \frac{1 + x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} }{n} }\) więc
\(\displaystyle{ \sqrt{ n} \ge \frac{1 + x_{1} + x_{2} +...+ x_{n}}{ 1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} } >\frac{ x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} }{1+ x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+.....+ x_{n} ^{2} }}\)
co należało dowieść
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
cmnstrnbnn, to nie zadziała, już pierwsza nierówność jest nieprawdziwa (dokładniej: nie zawsze prawdziwa), bo np. jeśli zwiększysz mianownik ułamka o dodatnim liczniku i mianowniku, to zmniejszysz ułamek, zamiast go zwiększyć.
rozwiązanie:
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dobra racja, faktycznie bardzo głupi błąd popełniłem
To ode mnie w ramach zadośćuczynienia
\(\displaystyle{ a, b, c>0}\), oraz \(\displaystyle{ abc= \frac{1}{8} }\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} \ge \frac{15}{16} }\)
To ode mnie w ramach zadośćuczynienia
\(\displaystyle{ a, b, c>0}\), oraz \(\displaystyle{ abc= \frac{1}{8} }\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} \ge \frac{15}{16} }\)
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}\in \RR^{+}}\) i niechaj \(\displaystyle{ s=\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{s+a_{i}}{s-a_{i}}\ge \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{s-a_{i}}{s+a_{i}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{s+a_{i}}{s-a_{i}}\ge \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{s-a_{i}}{s+a_{i}}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ciekawe podejście (zresztą nie pierwszy raz tego typu rozwiązanie się pojawia w tym wątku), moje było trochę inne.
Oczywiście można kontynuować.
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dla rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c,d\ge 0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c+d=4}\), udowodnij $$\frac{a}{3a^3+2}+\frac{b}{3b^3+2}+\frac{c}{3c^3+2}+\frac{d}{3d^3+2}\le\frac{4}{5}.$$